1 Propiedades de las Desigualdades y los Intervalos

2 Objetivos: Conocer los símbolos de desigualdad.Conocer las propiedades básicas de las desigualdades. Expresar una desigualdad en forma de intervalo. Expresar una desigualdad en forma gráfica.

3 Los símbolos de desigualdadVeremos en esta sección algunos conceptos básicos que son de utilidad en la solución de desigualdades lineales y compuestas. Los símbolos de desigualdad

4 Definición Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor que b, si b - a es un número positivo. En tal caso escribimos a < b. Esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica. a b Ejemplos: 1. 3 < 5 < -3 a < b es lo mismo que b > a

5 Para los números reales a y b,Propiedades de las desigualdades 1. La propiedad de tricotomía Para los números reales a y b, sólo una de las siguientes es cierta: a < b a = b a > b

6 2. La Propiedad no negativaSi a es un número real entonces, Todo número elevado al cuadrado es positivo o cero.

7 3. La propiedad transitiva para las desigualdadesSi a < b y b < c, entonces a < c. Si a > b y b > c, entonces a > c.

8 4. La propiedad aditiva de las desigualdadesSi a < b, y entonces a + c < b + c. Si a > b, y entonces a + c > b + c.

9 5. La propiedad multiplicativa de las desigualdadesSi a < b y c > 0, entonces ac < bc. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc. Aclaración: Si se multiplica o divide en ambos lados de una desigualdad por un número negativo el sentido o dirección del signo de la desigualdad cambia.

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11 Intervalos Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo cerrado ab por [a, b] y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. [ ] x a b [a, b]=

12 2. Si a y b son dos números reales tal que a < b2. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo abierto ab por (a, b), y se define como el conjunto de todos los reales x tal que a < x < b. ( ) a b (a, b) =

13 3. Si a y b son dos números reales tal que a < b3. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo semi abierto o semi cerrado ab por (a, b], y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. ( ] x a b (a, b] =

14 4. Sean a y b dos números reales tal que a < b4. Sean a y b dos números reales tal que a < b. Denotamos el intervalo semi abierto o semi cerrado ab por [a, b), y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. [ ) x a b [a, b) =

15 5. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números mayores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a. [ x a

16 6. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números mayores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a. ( x a

17 7. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números menores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a. ) x a

18 8. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números menores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a. ] x a

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20 Ejemplo: Escriba el conjunto de soluciones de la desigualdad -3 < x < 2 usando notación de intervalo y en forma gráfica. Intervalo = [ ) 2 -3

21 [a, b] [a, b) (a, b] Resumen de intervalos: IntervaloNotación de Conjuntos Forma gráfica [a, b] [a, b) (a, b]

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