1 Przekształcenie HilbertaDavid Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
2 Przekształcenie HilbertaSygnał analityczny Obwiednia, kąt fazowy i częstotliwość sygnału Wykres wskazowy sygnału Sygnał wąskopasmowy Filtracja sygnału modulacji amplitudy Sygnały przyczynowe Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
3 David HILBERT ( †1943) Matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Getyndze. Autor prac z teorii liczb, równań różniczkowych i całkowych, rachunku wariacyjnego, logiki matematycznej, topologii oraz analizy funkcjonalnej (przestrzeń Hilberta). Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu (1900) przedstawił sławne do dzisiaj 23 problemy, które w nadchodzącym wieku powinny zostać rozwiązane (obecnie 17 problemów jest rozwiązanych, 3 nadal są otwarte, 3 zostały uznane za nieciekawe). Hilbert głęboko wierzył, że w matematyce nie ma miejsca dla ignoramus et ignorabimus (nie wiemy i nie będziemy wiedzieć), a więc nie istnieje możliwość, że coś na zawsze pozostanie nieznane. Wiarę Hilberta zniszczył Kurt Gödel, który udowodnił, że dla każdej teorii aksjomatycznej można zbudować takie zdanie, którego prawdziwości lub prawdziwości jego negacji nie można udowodnić. Hipoteza o nierozstrzygalności jest uznawana za jeden z najgłębszych wyników w historii myśli ludzkiej. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
4 David HILBERT Uniwersytet w Getyndze, na którym w połowie XIX wieku nauczał "książę matematyków" Carl F. Gauss, miał szczęście do wielkich uczonych. W 1886 roku katedrę matematyki objął tam Felix Klein oraz zapoczątkował odbywające się co tydzień seminaria, w czasie których dyskutowano o najnowszych wynikach. Hilbert był "czystym" matematykiem i pogardzał "technikami", którzy dążyli do praktycznego wykorzystania odkryć matematycznych. Felix Klein natomiast zawsze interesował się zastosowaniami matematyki w technice. Raz na rok Klein spotykał się z inżynierami i przemysłowcami. Pewnego razu zdarzyło się, że w ostatniej chwili przed spotkaniem Klein zachorował i rozpaczliwie szukał zastępstwa. Hilbert zgodził się zastąpić Kleina, który solennie mu przykazał wypowiedzenie przychylnej opinii na temat związków matematyki z techniką. Przemówienie Hilberta było dość lakoniczne: Szanowni panowie - matematyka i technika..., matematyka i technika..., matematyka i technika są w najlepszej zgodzie teraz i pozostaną także w przyszłości, ponieważ - proszę panów - nie mają one niczego z sobą wspólnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
5 Felix Klein (1862 - †1943) Butelka KleinaButelka Kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji, gdyż nie można wskazać co jest jej wnętrzem, a co zewnętrzem. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
6 Przestrzeń euklidesowa i HilbertaOdległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej: Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej można wyznaczyć korzystając z pojęcia iloczynu skalarnego: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
7 Właściwości iloczynu skalarnegoPrzemienność Rozdzielność - dodawania Definicja iloczynu skalarnego dla funkcji wg. Hilberta Skalowanie Zerowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
8 Przestrzeń euklidesowa i HilbertaPrzestrzeń Hilberta - przestrzeń w której odległość mierzymy za pomocą iloczynu skalarnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
9 Zagadnienie najlepszej aproksymacji funkcji w przestrzeni HilbertaSzereg Fouriera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
10 Definicja przekształcenia Hilbertasygnał w kwadraturze Filtr Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
11 Definicja przekształcenia Hilberta1 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
12 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
13 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
14 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
15 Transformaty HilbertaSygnał x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości widma g < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
16 Transformaty Hilberta-3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2t/T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
17 Transformaty HilbertaSa(Wt) H{Sa(Wt)} "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
18 Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
19 Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
20 Obwiednia sygnału Obwiednia jest krzywą styczną do krzywych należących do rodziny krzywych. rodzina parabol obwiednia "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
21 Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0tObwiednia sygnału jest krzywą ograniczającą inną krzywą lub rodzinę krzywych. f0/fm = 10 Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
22 Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0tf0/fm = 100 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
23 Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0tf0/fm = 1000 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
24 Obwiednia sygnału Definicja obwiedni e(t):"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
25 Obwiednia sygnału (zdudnianie częstotliwości)"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
26 Obwiednia sygnału fonii stereo"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
27 Pewna właściwość obwiedniSygnał: jest sygnałem analitycznym, a więc: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
28 Obwiednia generatorem sygnałuWartości sygnału mogą być wyznaczone poprzez wartości obwiedni sygnału (obwiednia generuje sygnał). "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
29 Obwiednia generatorem sygnałuDetektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
30 Obwiednia generatorem sygnałuDetektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
31 Kąt fazowy sygnału Definicja kąta fazowego (t):"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
32 Częstotliwość chwilowa sygnałuDefinicja częstotliwości chwilowej (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
33 Częstotliwość chwilowa sygnału"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
34 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
35 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
36 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowskaCzęstotliwość fourierowska pokrywa się z częstotliwością chwilową tylko wtedy, gdy szybkość zmian tej ostatniej jest niewielka (przez pewien okres czasu jesteśmy w stanie obserwować drganie harmoniczne). T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
37 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
38 Wykres wskazowy sygnału 0 A0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
39 Wykres wskazowy sygnału 0 e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
40 Wykres wskazowy sygnałue(t) (t) x+(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
41 Sygnał wąskopasmowy W "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
42 Sygnał wąskopasmowy Stereofonia FM: B = 200 kHz, f0 100 MHz, B/f0 = 0,002 CATV: B = 8 MHz, f0 500 MHz, B/f0 = 0,016 SAT TV: B = 40 MHz, f0 4 GHz, B/f0 = 0,01 Transmisja światłowodowa: III okno 1550 nm, szerokość okna 30 nm, B/f0 = 0,02 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
43 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
44 Sygnał wąskopasmowy Składowa synfazowa (I) oraz kwadraturowa (Q)I - inphase Q - quadrature "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
45 Sygnał wąskopasmowy Widma składowej synfazowej xI(t) oraz kwadraturowej xQ(t) są dolnopasmowe. Widma składowej kwadraturowej xQ(t) znika, gdy widmo sygnału X() jest osiowosymetryczne względem prostej = 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
46 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
47 Dolnopasmowa reprezentacja sygnału wąskopasmowego"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
48 Wykres wskazowy sygnału wąskopasmowegoxQ(t) xI(t) x(t) t = const "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
49 Wykres wskazowy gaussowskiego szumu wąskopasmowegon = 10 n = 100 1 2 n = 1000 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
50 Realizacja gaussowskiego szumu wąskopasmowego"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
51 Filtracja sygnału modulacji amplitudy? "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
52 Filtracja sygnału modulacji amplitudy"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
53 Zamiana kolejności modulacji i filtracji+ – "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
54 Opóźnienie grupowe i fazowe"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
55 Opóźnienie grupowe i fazowetg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
56 Opóźnienie grupowe i fazowetg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
57 Sygnały przyczynowe Sygnał x(t) nazywamy przyczynowym (bez przeszłości), jeżeli x(t) = 0 dla t < 0. x(t) t sygnał nieprzyczynowy sygnał przyczynowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
58 Sygnały przyczynowe Filtr h(t) H() nazywamy przyczynowymjeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0 (skutek nie wyprzedza przyczyny). y(t) x(t) t "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
59 Filtry przyczynowe Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0. t Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli h(t) = 0 dla t < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
60 Filtr nieprzyczynowy t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
61 Filtr przyczynowy R C t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
62 Warunki budowy filtrów przyczynowychSygnał analityczny ma widmo prawostronne, gdyż część urojona sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej sygnału. Właściwości przekształcenia Fouriera (a więc i Hilberta) są dualne. Sygnał ma przebieg prawostronny (jest przyczynowy), gdy część urojona transformaty Fouriera sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej widma sygnału. Transmitancja filtru jest funkcją analityczną. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
63 Kryterium Paley’a - WieneraJeżeli cha-ka a-cz filtru spełnia warunek to dla przyczynowości filtru potrzeba i wystarcza, aby spełniony był warunek: znany jako kryterium Paley’a-Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
64 Kryterium Paley’a - WieneraKryterium Paley’a - Wienera pozwala stwierdzić, że nie można zrealizować: 1. idealnego tłumienia i/lub 2. idealnie opadającego zbocza. Maksymalna szybkość opadania zbocza filtru "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
65 Filtry minimalno-fazoweKryterium P-W nie podaje zasad doboru cha-ki f-cz (), a mówi jedynie, że charakterystykę tę można dobrać tak, aby implementacja filtru A()exp[j ()] była możliwa. Transmitancja filtru przyczynowego jest analityczna, zatem analityczna jest funkcja lnH() = lnA() + j (). Warunek ten pozwala dobrać cha-kę f-cz () (filtr minimalno-fazowy): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
66 Podsumowanie Przekształcenie Hilberta nie zmienia ch-aki a-cz sygnału, natomiast wszystkie częstotliwości są przesuwane w fazie o -/2. Przekształcenie Hilberta pozwala zdefiniować sygnał analityczny zawierający wyłącznie częstotliwości dodatnie. Sygnał analityczny pozwala określić obwiednię oraz kąt fazowy sygnału (częstotliwość chwilową). Wykresy wskazowe stanowią ilustrację graficzną sygnału analitycznego na płaszczyźnie zespolonej. Sygnał analityczny pozwala na przedstawienie sygnałów wąskopasmowych za pomocą sygnałów dolnopasmowych. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
67 Podsumowanie Zamiana kolejności modulacji oraz filtracji jest możliwa, gdy filtr pasmowoprzepustowy zastąpimy jego odpowied- nikiem dolnopasmowym. Filtracja sygnału modulacji amplitudy wiąże się z wprowadzeniem opóźnienia obwiedni (opóźnienie grupowe) oraz opóźnienia sygnału nośnego (opóźnienie fazowe). Implementacja układowa filtru jest możliwa, gdy jego odpowiedź impulsowa jest przyczynowa, a o tym decydują związki Hilberta pomiędzy cz. rzeczywistą a cz. urojoną transmitancji filtru; alternatywą jest kryterium Paley’a - Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir