1 Pułapki liczb zmiennoprzecinkowych Adam Sawicki – asawicki.infoasawicki.info 24.09.2016

2 Agenda Liczby zmiennoprzecinkowe – Budowa – Typy – możliwości i ograniczenia – Typy – w językach programowania Pułapki – Zakres – Precyzja – Nieskończone rozwinięcie – Liczby całkowite – Porównywanie – Wartości specjalne Podsumowanie Ciekawostka: half-float 2

3 Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe (floating point numbers) – Przybliżona reprezentacja liczb rzeczywistych – Mogą zawierać część całkowitą i ułamkową – Mogą przyjmować bardzo duże lub małe wartości Standard IEEE 754 – Wspierane sprzętowo przez procesor – Dostępne w różnych językach programowania 3

4 Liczby zmiennoprzecinkowe Przydatne narzędzie: IEEE 754 ConverterIEEE 754 Converter 4 1 10000010 01010000000000000000000 -1 1 · 2 3 · 1.3125 = -10.5 Znak Wykładnik Mantysa

5 Typy – możliwości i ograniczenia 5 Floating-Point Formats Cheatsheet @ asawicki.info

6 Typy – możliwości i ograniczenia Dwa najpopularniejsze: 32- i 64-bitowy Nazywane „pojedynczej” i „podwójnej” precyzji 6

7 Typy – w językach programowania Język32-bit Float64-bit Float C, C++ *floatdouble C#floatdouble Javafloatdouble Delphi/Object PascalSingleDouble SQLREALFLOAT Python *float PHP *float JavaScript **Number Lua **number 7 * Zazwyczaj – zależnie od implementacji ** Jedyny dostępny typ liczbowy, nie ma typów całkowitych

8 Zakres Ograniczony zakres możliwych do zapisania wartości Wartość najbliższa zero Wartość największa/najmniejsza Jest szeroki, rzadko stanowi problem 8

9 Precyzja Precyzja określana jest liczbą cyfr znaczących Binarnych – to liczba bitów mantysy + 1 Dziesiętnych – podawana w przybliżeniu 9

10 Precyzja Precyzja jest względna Różnice między sąsiednimi możliwymi do zapisania wartościami są tym większe, im większa jest wartość liczbowa. Wartości te rozmieszczone są „gęściej” w okolicy zera. 10 float x = 1111.111111111111f; printf("%.16g\n", x);

11 Precyzja – przykład timeGetTime zwraca czas od startu systemu, w milisekundach. Ile wynosi precyzja wyniku? Co jest źle w tym przykładzie? Jak to naprawić? 11 #include int main() { float poczatek = (float)timeGetTime() / 1000.0f; DlugaOperacja(); float koniec = (float)timeGetTime() / 1000.0f; printf("DlugaOperacja trwala: %g s\n", koniec - poczatek); }

12 Precyzja – przykład Jest to przykład tzw. catastrophic cancellation Zmienne poczatek i koniec mogą mieć duże wartości. Niewielka różnica między nimi może być niedokładna przez ograniczenia pracyzji. 12 Czas od startu systemuPrecyzja zmiennej 1 s119 ns 10 000 s (3 godziny)1 ms 100 000 s (1 dzień)7.81 ms

13 Precyzja – przykład Rozwiązaniem jest zachować czasy w ich natywnym typie, a dopiero ich różnicę zamienić na typ float. Podobnie precyzyjny czas z funkcji QueryPerformanceCounter warto pozostawić jako 64- bitowy integer. 13 int main() { DWORD poczatek = timeGetTime(); DlugaOperacja(); DWORD koniec = timeGetTime(); float czasTrwania = (float)(koniec - poczatek) / 1000.0f; printf("DlugaOperacja trwala: %g s\n", czasTrwania); }

14 Nieskończone rozwinięcie Liczba mająca skończone rozwinięcie w zapisie dziesiętnym niekoniecznie ma takie w zapisie binarnym. 14 LiczbaSystem dziesiętnySystem binarny 1 + 1/21.51.1 π3.1415927…11.001001… 1/100.10.0001101… (!)

15 Liczby całkowite Wartości całkowite są w typach zmiennoprzecinkowych reprezentowane dokładnie… Operacje na nich (dodawanie, odejmowanie, mnożenie) także dają dokładny wynik. Dzięki temu można ich używać zamiast liczb całkowitych (jak w JavaScript, Lua). 15 float a = 256, b = 13; printf("%g\n", a * b);

16 Liczby całkowite …jednak tylko do pewnej wartości maksymalnej! Powyżej tej wartości zaczynają „przeskakiwać” co 2, potem co 4 itd. Zakres dokładnych liczb całkowitych w X-bitowym float jest mniejszy, niż w X-bitowym integer. Zakres dokładnych liczb całkowitych w 64-bitowym float obejmuje cały zakres 32-bitowych integer. 16

17 Porównywanie Wyników obliczeń nie należy porównywać operatorem == ani != Niedokładności na ostatnich miejscach po przecinku mogą spowodować, że liczby nie będą identyczne. 17 #include int main() { float a = 1.0f / 10.0f; float b = 1.0f - 0.9f; printf("a=%g, b=%g\n", a, b); if (a == b) printf("Zgadza sie.\n"); else printf("Nie zgadza sie!\n"); }

18 Porównywanie a = 0x3dcccccd ≈ 0.100000001 b = 0x3dccccd0 ≈ 0.100000024 18 #include int main() { float a = 1.0f / 10.0f; float b = 1.0f - 0.9f; printf("a=%g, b=%g\n", a, b); if (a == b) printf("Zgadza sie.\n"); else printf("Nie zgadza sie!\n"); }

19 Porównywanie Rozwiązaniem jest porównywanie z pewnym małym marginesem ±ε Ile powinien wynosić? To trudne pytanie. Zależy od rzędu wielkości wyniku i spodziewanych błedów. 19 #include int main() { float a = 1.0f / 10.0f; float b = 1.0f - 0.9f; printf("a=%g, b=%g\n", a, b); if (fabsf(b - a) < 0.00001f) printf("Zgadza sie.\n"); else printf("Nie zgadza sie!\n"); }

20 Wartości specjalne Wartość zmiennoprzecinkowa może być jednego z kilku rodzajów, oprócz wartości normalnej (normal): Zero – Są dwa zera, zależnie od bitu znaku: +0 i -0. – Są sobie równe (+0 == -0), więc nie trzeba się nimi zajmować. Wartość zdenormalizowana (denormal, subnormal) – Pozwala zapisać wartość jeszcze mniejszą (bliższą zero), niż normalna. – Po prostu działa – nie trzeba się nią zajmować. 20

21 Wartości specjalne INF – nieskończoność (od Infinity) – Również ma dwie wartości: +INF i -INF. – Oznacza przepełnienie ponad maksymalną wartość lub matematyczną nieskończoność ∞. – Drukowana jako „1.#INF” lub „inf”. NaN – „nie liczba” (od Not a Number) – Wartość niemożliwa do określenia, błąd obliczeń – np. wynik niedozwolonej operacji. – Drukowana jako „1.#IND” (od indeterminate – nieokreślony) lub „nan” itp. 21

22 Wartości specjalne – test 22 #include int main() { double zero = 0.0; double dwa = 2.0; printf(" 2 / 0 = %g\n", dwa / zero); printf("-2 / 0 = %g\n", -dwa / zero); printf(" 0 / 0 = %g\n", zero / zero); printf("log(0) = %g\n", log(zero)); printf("log(-2) = %g\n", log(-dwa)); printf("sqrt(-2) = %g\n", sqrt(-dwa)); double inf = dwa / zero; double nan = zero / zero; printf(" 2 + INF = %g\n", dwa + inf); printf(" 2 * INF = %g\n", dwa * inf); printf("-2 * INF = %g\n", -dwa * inf); printf(" 0 * INF = %g\n", zero * inf); printf(" 2 / INF = %g\n", dwa / inf); printf(" 0 / INF = %g\n", zero / inf); printf("INF + INF = %g\n", inf + inf); printf("INF - INF = %g\n", inf - inf); printf("INF * INF = %g\n", inf * inf); printf("INF / INF = %g\n", inf / inf); printf("2 + NaN = %g\n", dwa + nan); printf("2 * NaN = %g\n", dwa * nan); printf("2 / NaN = %g\n", dwa / nan); printf(" INF > 2 = %s\n", inf > dwa ? "true" : "false"); printf("-INF < 2 = %s\n", -inf < dwa ? "true" : "false"); printf("2 == NaN = %s\n", dwa == nan ? "true" : "false"); printf("NaN == NaN = %s\n", -nan == nan ? "true" : "false"); }

23 Wartości specjalne – test 23

24 Wartości specjalne INF i NaN zachowują się zgodnie z zasadami matematyki – Każda operacja z NaN w wyniku daje NaN – Każde porównanie z NaN daje false (nawet z samym sobą) Teoretycznie możnaby je wykorzystywać – Wykrywać? Jawnie przypisywać? W praktyce oznaczają błąd obliczeń – Niespodziewane zero, liczba ujemna, bardzo duża lub bardzo mała – Należy im zapobiegać 24

25 Podsumowanie Liczby zmiennoprzecinkowe są przybliżeniem liczb rzeczywistych – Mają złożoną budowę – Mają ograniczony zakres i precyzję Warto być świadomym ich cech i ograniczeń – Nie każdą liczbę da się zapisać dokładnie – Im większa wartość, tym większy bezwzględny błąd – Wyniki obliczeń mogą się różnić od spodziewanych na dalszych miejscach po przecinku – Nie należy ich porównywać operatorem == ani !=, ale ±ε – Wartości specjalne INF, NaN oznaczają błąd obliczeń 25

26 Ciekawostka: half-float Typ zmiennoprzecinkowy 16-bitowy – precyzji „połówkowej” Bardzo ograniczone możliwości – Zakres: maksimum to 65504 – Precyzja: ok. 3 cyfr dziesiętnych – Wciąż większy zakres i precyzja, niż bajt 0…255 Brak wsparcia sprzętowego w CPU – Wsparcie sprzętowe w nowych GPU – Wykorzystywany w grafice do zapisywania kolorów RGB 26

27 Pytania? 27