1

2 Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w DrążnejDane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Publiczne Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Drążnej ID grupy: 98_52_mf_g2 Opiekun: Mirosław Jadrych Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Symetrie w otaczającym nas świecie Semestr/rok szkolny: IV/

3 Symetrie w otaczającym nas świecie0Symetria jest ideą, za pomocą której człowiek stara się od niepamiętnych czasów ogarnąć myślą i tworzyć porządek, piękno i doskonałość. Herman Weyl , Symetria

4 Czym się zajmowaliśmy? Na wstępie określiliśmy obszary, w których będziemy pogłębiali naszą wiedzę i umiejętności związane z symetriami. Wykorzystywaliśmy możliwości programu Geogebra służące tworzeniu konstrukcji geometrycznych. Nasze spotkania poświęcaliśmy także wyszukiwaniu i analizowaniu znalezionych w sieci Internet informacji dotyczących symetrii. Szukaliśmy symetrii z aparatem fotograficznym w naszym otoczeniu – w szkole i w domu.

5 SymetriA Symetria jest wszechobecna. Ze zjawiskiem tym ludzie spotykają się codziennie w swoim życiu od początku swego istnienia. Najpierw obserwowali ją w przyrodzie, w ciele człowieka, by później zacząć ją analizować za pomocą nauki, szczególnie matematyki. Następnym etapem było już tworzenie symetrii – znajdujemy ją w sztuce, w architekturze, w technice czy w życiu codziennym.

6 SymetriA Czym więc jest symetria? Możemy spotkać się z różnymi jej określeniami. Symetria to własność, jaką ma obiekt (matematyczny lub pozamatematyczny) wobec różnego rodzaju przekształceń. Takimi przekształceniami mogą być na przykład przekształcenia geometryczne. Symetria jest cechą niezmienniczości obiektu względem grupy przekształceń automorficznych. Symetria to odwzorowanie, które każdemu punktowi obiektu przyporządkowuje jego obraz. Obraz i obiekt są takie same, a odwzorowanie jest wynikiem pewnej operacji, np. odbicia, obrotu. Symetria jest synonimem piękna, harmonii, umiaru, równowagi, dobranych proporcji, nastroju, wyważenia i rozwagi, cnoty, porządku i prawa, dobra, nawet temperamentu czy stanu ducha jednakowo odległego od skrajności…

7 Symetria Przejawy symetrii w przyrodzie:symetria ładunków dodatni-ujemny, symetria zjawisk, symetria kryształów, symetria materii ożywionej (budowa organizmów) Pojęcie symetrii odnosi się nie tylko do obiektów fizycznych. Mamy: harmonię w muzyce i akustyce, równowagę w naturze, symetrię pojęć (dobro-zło, lewy-prawy)

8 Symetrie w przyrodzie Trochit Liliowca Balanocrinus pentagonalis – wiek około milionów lat balanocrinus Paź królowej

9 Symetrie w przyrodzie Poroże jelenia Jelonek rogacz

10 Symetrie w przyrodzie Symetria kwiatuKwiaty mogą mieć symetrię promienistą, grzbiecistą albo mogą być niesymetryczne. Kwiaty promieniste mają listki okwiatu każdego okółka jednakowe, tak że przez taki kwiat możemy przeprowadzić przynajmniej dwie płaszczyzny symetrii. Ten typ kwiatu najczęściej spotykany jest w rodzinie różowatych (Rosaceae). Kwiaty grzbieciste mają tylko jedną płaszczyznę symetrii. Kwiat można podzielić tylko na dwie jednakowe części, gdyż nie wszystkie listki jego okwiatu są jednakowe, np. u robinii (Robinia), kasztanowca (Aesculus), surmii (Catalpa) i kokornaku (Aristolochia). Kwiaty niesymetryczne nie mają płaszczyzny symetrii, np. u paciorecznika (Canna).

11 Symetrie w przyrodzie pięciornik kurze ziele świetlik łąkowyróża błotna

12 Symetrie w przyrodzie Symetria i asymetria ludzkiego ciała U człowieka w okresie zarodkowym jedna połowa ciała jest lustrzanym odbiciem drugiej, a symetria dotyczy w znacznym stopniu także narządów wewnętrznych. Niewielka asymetria zewnętrznej budowy ciała człowieka jest normą. Szczególnie dobrze można to zauważyć na twarzy – po odbiciu lustrzanym każdej z połówek otrzymamy dwie różniące się twarze. po odbiciu lustrzanym lewej strony twarzy po odbiciu lustrzanym prawej strony twarzy

13 Symetria i asymetria ludzkiego ciałaSymetrie w przyrodzie Symetria i asymetria ludzkiego ciała Narządy wewnętrzne parzyste mogą różnić się kształtem, wielkością i lokalizacją np. lewa połowa mózgu zazwyczaj jest większa niż prawa, lewe płuco ma mniejszą pojemność i zbudowane jest z mniejszej ilości płatów, lewa nerka znajduje się wyżej niż prawa Narządy nieparzyste mogą być położone symetrycznie (narządy ośrodkowego układu nerwowego, narządy płciowe, pęcherz moczowy) lub asymetrycznie (wątroba, trzustka po prawej stronie; śledziona, żołądek po lewej).

14 Symetrie w architekturzeStarożytny rzymski architekt Markus Vitruvius twierdził: „bez symetrii i proporcji żadna świątynia nie będzie miała regularnego planu”. Belweder - barokowy pałac księcia Eugeniusza Sabaudzkiego, Wiedeń, Austria

15 Symetrie w architekturzeWieża Eiffla, Paryż, Francja

16 Symetrie w architekturzeTadż Mahal, Indie

17 Symetrie w architekturzeLicheń Stary, Polska

18 Symetrie w architekturzeRozeta w Katedrze w Altamurze, Włochy

19 Symetrie w architekturzePałac Wilanów, Warszawa - symetria przyległych ścian i okien

20 Symetrie w sztuce Waza w stylu czarnofigurowym – z przedstawieniem Achillesa i Ajaksa grających w kości

21 Symetrie w sztuce Złota maska Tutanchamona

22 Symetrie w sztuce Richard Lohse: Piętnaście symetrycznych rzędów farb z czerwonym środkiem

23 Symetrie w sztuce

24 Symetrie w sztuce Sztuka lateńska - na podstawie: National Geographic, "Celtowie- życie, legendy i sztuka" Juliette Wood

25 Symetrie w sztuce ROZETY, podobnie jak inne formy polskiej wycinanki ludowej były charakterystycznymi ozdobami izby wiejskiej na przełomie XIX i XX wieku. Koliste wycinanki, najczęściej jednobarwne, czasem wzbogacone kolorowymi akcentami, wypełnione ażurowymi wzorami, miały co najmniej sześć osi symetrii. Najstarsze wzory o geometrycznych i abstrakcyjnych motywach wypełniających przestrzenie między wychodzącymi promieniście ze środka ramionami, nazywane są ,,gwiozdami'' (m.in na Kurpiach, w Łowickiem, Garwolińskim), co wskazuje na pochodzenie pomysłu ich formy. W innych regionach zwane są ,,kółkami'' (Rawskie,Wolborskie)m lub ,,cackami''(Sieradzkie) nie przypominają już gwiazdy, ale wszystkie charakteryzuje, niezwykle harmonijne zgranie motywów. Wycinanki ludowe

26 Symetrie w sztuce klosz - replika lampy Tiffany Studios

27 Symetrie w sztuce hafty kaszubskie

28 Symetrie w otaczających nas przedmiotachindyjski naszyjnik umywalka podhalańskie portki suknia ślubna telewizor samochód logo Mercedes kanapa

29 Symetrie w nauce, fizyce i techniceSymetrie są obecnie podstawowym narzędziem fizyki: z ich istnienia można wywnioskować zasady zachowania (twierdzenie Noether) oraz wszystkie własności cząstek elementarnych, takie jak ładunki, masy i oddziaływania, w których uczestniczą. Przykładem może być symetria obrotowa w połączeniu z mechaniką kwantową dają zasadę zachowania momentu pędu. Podobnie można wyprowadzić m.in. zasady: zachowania pędu, zachowania energii całkowitej czy zachowania ładunku elektrycznego.

30 Symetrie w nauce, fizyce i technice

31 Symetrie w matematyce Najogólniej symetria jest pewnym geometrycznym odwzorowaniem punktu, prostej, płaszczyzny lub bryły. Podstawowymi symetriami są: symetria względem punktu, inaczej nazywana symetrią środkową, symetria względem prostej nazywana symetrią osiową, symetria względem płaszczyzny, nazywana symetrią płaszczyznową. Istnieją dwa rodzaje symetrii figur na płaszczyźnie: symetria względem prostej i względem punktu. Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii.

32 Symetrie w matematyce Symetria względem prostejDwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone. Istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego względem danej osi. Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem danej osi, jeżeli każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tej osi położony. Jeżeli dana figura jest tego rodzaju, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnej prostej, to tę figurę nazywamy figurą symetryczną. Składać się ona będzie z dwóch części, symetrycznie do siebie względem tej osi położonych. Figurę symetryczną do danej nazywamy jej obrazem symetrycznym.

33 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej – konstrukcja w Geogebra

34 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej Zadanie 1Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A = (3, 2); B = (5, -1); C = (-2, 4); D = (-4, -3); E = (0, 4); F = (7, 0) i znajdź punkty do nich symetryczne względem osi X. Rozwiązanie: Punktami symetrycznymi względem osi X są punkty: A = (3, 2); B = (5, -1); C = (-2, 4); D = (-4, -3); E = (0, 4); F = (7, 0) A’ = (3, -2); B’ = (5, 1); C’ = (-2, -4); D’= (-4, 3); E’ = (0, -4); F’ = (7, 0) Punkty symetryczne względem osi X mają równe pierwsze współrzędne, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi P=(x,y) i P’=(x,-y).

35 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej

36 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej Zadanie 2Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A=(2,3); B=(0,2); C=(-3,-4); D=(-5,0) i znajdź punkty do nich symetryczne względem osi Y. Rozwiązanie: Punktami symetrycznymi względem osi Y są punkty: A = (2,3); B = (0,2); C = (-3,-4); D = (-5,0) A’ = (-2,3); B’ = (0,2); C’ = (3,-4); D’ = (5,0) Punkty symetryczne względem osi Y mają równe drugie współrzędne, a pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi P=(x,y) i P’=(-x,y).

37 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej

38 Symetrie w matematyce Symetria względem punktuDwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu, jako środka, jeżeli leżą na prostej, przechodzącej przez ten punkt i są jednakowo od niego oddalone. Istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego względem obranego środka. Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem pewnego środka, jeżeli każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tego środka położony. Jeżeli dana figura jest tego rodzaju, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnego punktu jako środka, to nazywamy tę figurę środkowosymetryczną.

39 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej Zadanie 3Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: A=(3,2); B=(0,4); C=(-5,0); D=(-2,2) i znajdź punkty do nich symetryczne względem początku układu współrzędnych (punktu (0, 0)). Rozwiązanie: Punktami symetrycznymi względem początku układu współrzędnych są punkty: A = (3, 2); B = (0, 4); C = (-5, 0); D = (-2, 2) A’ = (-3,-2); B’ = (0,-4); C’ = (5, 0); D’ = (2,-2) Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych mają obie współrzędne będące liczbami przeciwnymi do współrzędnych danego punktu. P=(x,y) i P’=(-x,-y).

40 Symetrie w matematyce Symetria względem prostej

41 Symetrie w znakach - przykładyKręgi w zbożu

42 Symetrie w znakach - przykładyAmbigram obrotowy - to ambigram o symetrii środkowej. Odczyt tego samego wyrazu możliwy jest w nim po obróceniu napisu o kąt 180 stopni. Napis: GIMNAZJUM

43 Symetrie w znakach - przykładyŚRODKOWOSYMETRYCZNE OSIOWOSYMETRYCZNE ASYMETRYCZNE

44 Symetrie w znakach - przykładyZnaki: < > () [ ] { } Litery: Cyfry: 0 3 8 Wyrazy: KAJAK ANNA OCH AGA ADA ALA MAM OMO KOK OKO BOB EHE LOL JAJ ECH WOW OTTO YHY ACHA BOK OWO KOC ECHO CICHO POTOP …

45 Grupa uczniów realizujących projekt

46