1 Question: Are there sets of random events which are pairwise independent but not mutually independent? Question: Are there sets of random events which are pairwise independent but not mutually independent? Supongamos A,B,C que satisfacen la siguiente relación: Supongamos A,B,C que satisfacen la siguiente relación: Puede decirse entonces que ABC son pairwise indepedendent? Puede decirse entonces que ABC son pairwise indepedendent?

2 Solución: (BERNSTEIN, 1928 ) Solución: (BERNSTEIN, 1928 ) Supongamos que tenemos una caja con 4 tickets marcados con 112 121 211 222 Al elegir un ticket al azar pueden ocurrir los siguientes eventos: A1: {Obtenemos un 1 en la primera posición} A2: {Obtenemos un 1 en la segunda posición} A3: {Obtenemos un 1 en la tercera posición}

3 P(A1) = ½ P(A1) = ½ P(A2) = ½ P(A2) = ½ P(A3) = ½ P(A3) = ½ Por lo tanto podemos concluir que los 3 eventos son pairwise independent.

4 Sin embargo: Sin embargo:Pero Conclusión: Pairwise independence no implica Mutual Independence

5 Cochran's Theorem Cochran's Theorem Este teorema permite la descomposición de sumas de cuadrados en varias formas cuadráticas y permite identificar sus distribuciones y establecer su independencia. Este teorema permite la descomposición de sumas de cuadrados en varias formas cuadráticas y permite identificar sus distribuciones y establecer su independencia.

6 Dado X ~ (0,I) suponga que X’X es descompuesta en k formas cuadráticas, Dado X ~ (0,I) suponga que X’X es descompuesta en k formas cuadráticas, donde el rank de es y es positiva semidefinida, por lo tanto cualquiera de las siguientes condiciones implica a las otras dos: (a) Los ranks sumados de es p (b) Cada ~ (c) Todos los son mutuamente independientes

7 Prueba: Prueba: Podemos escribir Osea Dado (a) probaremos (b).

8 Seleccionamos un arbitrario, digamos Seleccionamos un arbitrario, digamos si aplicamos una transformación ortogonal X=PI la cual diagonaliza, obtenemos: si aplicamos una transformación ortogonal X=PI la cual diagonaliza, obtenemos: Dado que el primer y último términos son diagonales, también lo es el segundo. Dado que r(B1) = r1, entonces r(P’B1P) = r1 y p-r1 elementos de la diagonal principal de P’B1P son 0. Así los elementos correspondientes de P’(I-B1)P son 1 y dado (a) el rank de P’(I-B1)P es p-r1, los otros elementos de la diagonal principal son 0 y los elementos correspondientes de P’B1P son 1. Por lo tanto

9 y B1 es idempotente. Analogías pueden hacerse para el resto de Bi’s y por lo tanto hemos establecido (b) desde (a). y B1 es idempotente. Analogías pueden hacerse para el resto de Bi’s y por lo tanto hemos establecido (b) desde (a). Dado (b) probaremos (c). I= B1 + B2 + … + Bk. (b) Implica que cada Bi es idempotente con rank ri. Elegimos un Bi arbitrario, digamos Bj. Existe una matriz ortogonal C tal que

10 Podemos entonces escribir Podemos entonces escribir Ahora cada C’BiC es idempotente y no puede tener elementos negativos en su diagonal. Entonces C’BiC debe tener los primeros rj elementos de la diagonal principal 0. Por ello

11 y así C’BiBjC = 0 lo cual es posible solo si BiBj=0. Dado que Bj fue elegido arbitrariamente, se ha probado (c) desde (b). Dado (b) se probará (a). Al tener (b), Bi posee ri valores propios 1 y p-ri ceros y dado que Al obtener las trazas tenemos.