1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennychAnaliza matematyczna Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar

2 Funkcje i ich własnościDEFINICJA Funkcją f jednej zmiennej, określoną na zbiorze X i przyjmującą wartości ze zbioru Y (ozn. f:XY) nazywa się przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego elementu yY. UWAGA x-argumenty funkcji f, y=f(x) wartości funkcji, X – dziedzina funkcji (ozn. Df), Y – przeciwdziedzina funkcji, {f(x)Y: xDf} = Wf – zbiór wartości funkcji.

3 Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór funkcji określający funkcję, to zbiór tych wszystkich elementów z R, dla których wzór ma sens nazywamy dziedziną naturalną.

4 Które wykresy są wykresami funkcji zmiennej x?b) c) x y x y x y d) e) f) x y x y x y

5 Równość funkcji DEFINICJAFunkcje f : DfY i g: DgY są równe (f=g), jeżeli:

6 Funkcja „na” DEFINICJAFunkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór y wtedy i tylko wtedy, gdy:

7 Funkcja ograniczona DEFINICJAf : DfY jest ograniczona z dołu na zbiorze A Df, jeżeli: f : DfY jest ograniczona z góry na zbiorze A Df, jeżeli:

8 Funkcja ograniczona DEFINICJAf : DfY jest ograniczona na zbiorze ADf, jeżeli jest ograniczona z góry i z dołu, czyli:

9 Funkcja złożona DEFINICJANiech f : XY i g: ZW gdzie YZ. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem:

10 Przykłady Określić złożenia i ich dziedziny:

11 Funkcja różnowartościowaDEFINICJA Funkcję nazywamy różnowartościową jeżeli:

12 Badanie różnowartościowościf(x) f(x1)= f(x2)= f(x3) x2 1 x1 x3 x

13 Funkcja odwrotna DEFINICJANiech będzie różnowartościowa. Funkcja odwrotną do f nazywamy funkcję spełniającą warunek:

14 Ilustracja funkcji odwrotnejf(x) x

15 Przykłady Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:

16 Definicje granic wg Cauchy’egoSąsiedztwem punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. S(x0)) nazywamy zbiór: Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. S(x0-); S(x0+)) nazywamy zbiór:

17 Granica funkcji DEFINICJAMówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

18 Ilustracja granicy funkcji w x0f(x) x

19 Granica w + DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie  (ozn ) jeżeli: Uwaga: Definicja granicy w punkcie – jest analogiczna

20 Ilustracja granicy funkcji w f(x) 1 x

21 Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

22 Granica prawostronna DEFINICJAMówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

23 Podać granice funkcji w punkcie 1x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e) x f(x) f)

24 Podać granice jednostronne funkcji w punkcie 1x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e) x f(x) f)

25 Przykłady Znaleźć granice funkcji:

26 Definicje granic funkcji wg HeinegoDEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

27 Granica lewostronna DEFINICJAMówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

28 Granica prawostronna DEFINICJAMówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 (ozn ) jeżeli:

29 Definicje Heinego a x0 x0 x0+   A g  

30 Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicyTWIERDZENIE Funkcja f ma w punkcie x0 granicę (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

31 Podstawowe wzory granic funkcji

32 Funkcja ciągłe DEFINICJAOtoczeniem punktu x0R o promieniu r >0 (ozn. O(x0,r)) nazywamy zbiór:

33 Otoczenia jednostronneDEFINICJA Otoczeniem lewostronnym punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. O(x0-,r)) nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym punktu x0R o promieniu r>0 (ozn. O(x0+,r)) nazywamy zbiór:

34 Ciągłość funkcji w punkcieDEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:

35 Lewostronna ciągłość funkcji w punkcieDEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu O(x0-). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

36 Prawostronna ciągłość funkcji w punkcieDEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na prawostronnym otoczeniu O(x0+). Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

37 Warunek konieczny i dostateczny ciągłości funkcjiTWIERDZENIE Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo i prawostronnie ciągła.

38 Ciągłość funkcji na przedzialeDefinicja Funkcja f jest ciągła na przedziale (a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja f jest ciągła na przedziale a,b jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a,b) oraz lewostronnie ciągła w punkcie a i prawostronnie w punkcie b.

39 Ilustracja ciągłości funkcji w punkcie 1x f(x) a) x f(x) b) x f(x) c) x f(x) d) x f(x) e)

40 Twierdzenia dotyczące ciągłości funkcjif i g ciągłe w x0  f +g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0  f ·g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0  f :g ciągła w x0, przy g(x0)0.

41 Ciągłość ważniejszych funkcji1. Wielomian jest funkcją ciągłą dla xR. 2. Funkcja wymierna jest ciągła dla wszystkich xR, dla których mianownik jest różny od zera. 3. Funkcja potęgowa jest ciągła dla wszystkich x>0.

42 Ciągłość ważniejszych funkcji4. Funkcja wykładnicza jest ciągła dla wszystkich xR. 5. Funkcja logarytmiczna jest ciągła dla x>0. 6. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: f(x)=sinx i f(x)= cosx dla wszystkich xR; f(x)= tgx dla f(x)= ctgx dla

43 Przykłady Zbadać ciągłość funkcji w podanych punktach:

44 Przykład Dobrać parametry a, bR, tak aby podana funkcja była ciągła:

45 Nieciągłości funkcji w punkcieDEFINICJA Niech x0R oraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x0 jeżeli: nie istnieje lub Uwaga: Nieciągłość rozważa się tylko w punktach należących do dziedziny.

46 Pochodne funkcji postaci y=f(x)DEFINICJA Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę: Pochodną oznaczamy symbolami: iloraz różnicowy

47 Interpretacja geometrycznaPochodna funkcji f w punkcie x jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. UWAGA Odnajdywanie pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem funkcji.

48 Ilustracja pochodnej funkcji w xf(x) x

49 TWIERDZENIE Jeżeli funkcja ma w danym punkcie skończoną pochodną, to jest ciągła w tym punkcie. UWAGA Funkcja ciągła może nie mieć pochodnej, np. funkcja w punkcie x=0 nie ma pochodnej.

50 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

51 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

52 Podstawowe wzory pochodnych funkcji

53 Podstawowe wzory pochodnych funkcji

54 Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:

55 Pochodne wyższych rzędówDEFINICJA Pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Drugą pochodną oznaczamy symbolami:

56 Pochodna rzędu n DEFINICJAPochodną rzędu n funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną pochodnej (n-1) rzędu tej funkcji. N-tą pochodną oznaczamy symbolami:

57 Przykłady Obliczyć sześć pochodnych wyższych rzędów funkcji:Obliczyć czwartą pochodną funkcji:

58 Twierdzenie o granicach nieoznaczonychTWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

59 Twierdzenie o granicach nieoznaczonychTWIERDZENIE (reguła de L’Hospitala) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to:

60 Tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności

61 Przykłady Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

62 Badanie przebiegu zmienności funkcji1. Ustalenie dziedziny. 2. Wskazania właściwosci: parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość. 3. Obliczanie granic na krańcach dziedziny. 4. Znalezienie asymptot.

63 Badanie przebiegu zmienności funkcji5. Zbadanie pierwszej pochodnej wyznaczenie pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema, ustalenie przedziałów monotoniczności, ustalenie ekstremów funkcji.

64 Badanie przebiegu zmienności funkcji6. Zbadanie drugiej pochodnej wyznaczenie drugiej pochodnej i jej dziedziny, wyznaczenie miejsc, w których funkcja może mieć punkty przegięcia, ustalenie przedziałów wypukłości, ustalenie punktów przegięcia funkcji.

65 Właściwości funkcji-parzystość, nieparzystośćFunkcja y=f(x) jest parzysta, jeżeli dla każdego xDf zachodzą warunki: -x Df oraz f(-x)=f(x). Funkcja y=f(x) jest nieparzysta, jeżeli dla każdego xDf zachodzą warunki: -x Df oraz f(-x)=-f(x).

66 Właściwości funkcji- okresowość i miejsca zeroweFunkcja y=f(x) jest okresowa, jeżeli istnieje TR, że dla każdego xDf zachodzi: f(x+T)=f(x). Funkcja y=f(x) ma miejsce zerowe w punkcie x0, jeżeli zachodzą warunki: x0Df oraz f(xo)=0.

67 Asymptoty funkcji DEFINICJAProsta x=a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli: Prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli:

68 Ilustracja asymptoty pionowej lewostronnej funkcjix f(x)

69 Ilustracja asymptoty pionowej prawostronnej funkcjix f(x)

70 Ilustracja asymptoty pionowej obustronnej funkcjix f(x)

71 Asymptoty poziome funkcjiDEFINICJA Prosta y=B jest asymptotą poziomą funkcji f w , jeżeli: Uwaga: Analogicznie definiuje się asymptoty w -.

72 Ilustracja asymptoty poziomej funkcjix f(x)

73 Asymptoty ukośne funkcjiDEFINICJA Prosta y=Ax+B jest asymptotą ukośną funkcji f w , jeżeli: Wówczas:

74 Ilustracja asymptoty ukośnej funkcjix f(x)

75 Przykład Znaleźć asymptoty podanej funkcji:

76 Ekstrema funkcji DEFINICJAFunkcja f ma w punkcie x0R minimum lokalne właściwe, jeżeli: Funkcja f ma w punkcie x0R maksimum lokalne właściwe, jeżeli:

77 Warunek konieczny istnienia ekstremumTwierdzenie (Fermata) Jeżeli funkcja f ma: ekstremum lokalne w punkcie x0R, pochodną f (x0), to f (x0)=0.

78 Monotoniczność funkcjiJeżeli funkcja f jest ciągła i różniczkowalna na pewnym przedziale, to: f’(x)>0  f jest rosnąca (f) f’(x)<0  f jest malejąca (f) f’(x)=0  f jest stała

79 Warunek dostateczny istnienia maksimumTwierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x0)=0 b) to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne właściwe.

80 Warunek dostateczny istnienia minimumTwierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f (x0)=0 b) to funkcja f ma w x0 minimum lokalne właściwe.

81 Warunek dostateczny istnienia ekstremumTwierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: a) f’(x0)=0, b) f’’(x0)<0 [f’’(x0)>0] to funkcja f ma w x0 maksimum [minimum] lokalne właściwe.

82 Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

83 Punkty przegięcia wykresu funkcjiDEFINICJA Punktem przegięcia wykresu funkcji f (gdy ma ona drugą pochodną), nazywamy taki punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą.

84 Ilustracja punktu przegięcia wykresu funkcjif(x) x

85 Wyznaczanie punktów przegięciaTwierdzenie Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną ciągła, to w punktach przegięcia f (x)=0. Jeżeli druga pochodna funkcji f przechodząc przez punkt x0 zmienia znak, to wykres funkcji f ma punkt przegięcia w x0.

86 Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji:

87 Wypukłość, wklęsłość funkcjiDEFINICJA Funkcja f jest wypukła na przedziale IDf, jeżeli: Funkcja f jest wklęsła na przedziale IDf, jeżeli:

88 Warunek wystarczający wypukłościTwierdzenie Niech I będzie dowolnym przedziałem. Jeżeli dla każdego xI funkcja f spełnia nierówność: f (x0)>0 to jest ściśle wypukła na I, f (x0)0 to jest wypukła na I, f (x0)<0 to jest ściśle wklęsła na I, f (x0) 0 to jest wklęsła na I.

89 Ilustracja wypukłości funkcjif(x) x

90 Ilustracja wklęsłości funkcjif(x) x

91 Przykład Zbadać wypukłość funkcji:

92 Przykład Zbadać przebieg zmienności funkcji:

93 Funkcja wielu zmiennychDEFINICJA Zmienną u nazywamy funkcją n-zmiennych niezależnych, jeśli dla danego ciągu argumentów x1, x2,…, xn przyjmuje jednoznacznie określoną wartość liczbową. Dla n=2 u=f(x, y), dla n=3 u=f(x,y,z) dla n dowolnego u=f(x1, x2,…, xn).

94 Pochodna funkcji wielu zmiennychPochodną cząstkową funkcji u=f(x1, x2,…, xn) względem zmiennej xi definiujemy jako granice ilorazu różnicowego Pochodne cząstkowe oznaczamy symbolami:

95 Pochodne funkcji wielu zmiennychWektor pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u nazywamy gradientem u i oznaczamy grad u lub u, czyli Pochodnymi cząstkowymi rzędu n nazywamy pochodne cząstkowe pochodnych rzędu n-1.

96 Pochodne cząstkowe drugiego rzęduHesjanem H(x1, x2,…, xn) funkcji u=f(x1, x2,…, xn) wielu zmiennych nazywamy macierz drugich pochodnych cząstkowych, czyli macierz postaci

97 Ekstrema funkcji dwóch zmiennychWarunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie P0=(x0,y0) funkcji u=f(x,y) dwóch zmiennych jest to, aby gradient tej funkcji w tym punkcie był wektorem zerowym, czyli: Punkt P0=(x0,y0) nazywamy punktem stacjonarnym.

98 Ekstrema funkcji dwóch zmiennychWarunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji u dwóch zmiennych jest to, aby wyznacznik z hesjana w punkcie stacjonarnym był dodatni, czyli

99 Ekstrema funkcji dwóch zmiennychJeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma minimum, jeżeli to w punkcie stacjonarnym funkcja u ma maksimum. Jeżeli to funkcja u nie ma w punkcie stacjonarnym ekstremum, jeżeli to przypadek jest wątpliwy.

100 Przykład Wyznaczyć ekstrema funkcji:

101 Dziękuję za uwagę