1 Rachunek współrzędnychPODSTAWY GEODEZJI I KARTOGRAFII WYKŁAD Rachunek współrzędnych

2 Zastosowanie do obliczenia współrzędnych:punktów osnów geodezyjnych, punktów szczegółów terenowych przy aktualizacji map, punktów obiektów przy wyznaczaniu kształtu lub zmian kształtu (przemieszczeń i odkształceń budowli), punktów projektowanych budowli przy pomiarach realizacyjnych (tyczenia projektowanych obiektów), punktów budowli przy inwentaryzacji powykonawczej i w pomiarach kontrolnych.

3 Wyznaczenie punktu P2 na prostej (koniec odcinka)R – składnik redukcji do właściwej ćwiartki układu współrzędnych

4 Oznaczenia: d – długość odcinka P1 P2 , A1-2 – azymut odcinka P1 P2 , x, y – przyrosty (różnice) współrzędnych: x1-2 = x2 – x1, y1-2 = y2 – y1 , R – składnik redukcyjny zależny od orientacji odcinka, (ćwiartki układu współrzędnych): I. x  0 i y>0 R = 0, II. x  0 i y>0 R =  III. x  0 i y<0 R = , IV. x  0 i y<0 R = 2

5 Azymut odcinka i azymut odwrotny:2-1 = 1-2 ±  1-2 = 2-1 ±  W jednostkach miary stopniowej  = 180 o, gradowej  = 200 g,

6  = 1-3 -  1-2 Obliczenie kąta:  1-3 P2  1-2 P3 P1Kąt poziomy  jako różnica azymutów odcinków.

7 Punkty na prostopadłej:PL : xL = x1 + bL cos 1-2 + dL sin 1-2 yL = y1 + bL sin 1-2 - dL cos 1-2 X PL P2 bP dL dP PP : xP = x1 + bP cos 1-2 - dP sin 1-2 yP = y1 + bP sin 1-2 + dP cos 1-2 bL PP P1 Y bP, dP – miara bieżąca i domiar prostokątny punktu PP

8 Zasady obliczania wcięcia kątowego w przód A-P =  A-B – A d A-B = [(xB – xA)2 + (yB – yA )2]1/2 d A-P = (dAB sin B)/sin(A +B) xP = xA +dAP cos A-P yP = yA + dAP sin A-P X P  A-P A A B d A-B B Y  A-P – azymut kierunku wcinającego, kąty - B A z pomiaru AB – baza wcięcia, (punkty o znanych współrzędnych)

9  A = arccos(d2A-B+ d2A-P- d2B-P)/(2dA-B dA-BZasady obliczania wcięcia liniowego w przód A-P = A-B – A d A-B = [(xB – xA)2 + (yB – yA )2]1/2 cos(A) = (d2A-B+ d2A-P- d2B-P)/(2dA-B dA-B ) xP = xA +dA-P cos A-P yP = yA + dA-P sin A-P  A = arccos(d2A-B+ d2A-P- d2B-P)/(2dA-B dA-B X P dA-P  A-P A A dB-P B dA-B B Y dA-P , dB-P – długości odcinków (z pomiaru) A , B - wartości kątów poziomych (obliczone)

10 Obliczenie wcięcia wstecz:ctg  = (d2-3 sin 1)/(d1-2 sin(2 - 1)) X P1  d1-2 + = 360º – ( +  + 2)  = 180º – (1+)  = 180º – (2 - 1+) S-P1 1  P2  d2-3 2  S P3 dS-P1= (d1-2 sin )/ sin 1 S-P1= 180º + (1-2 +) Y 1 ,2 – kąty poziome z pomiaru, kąty obliczone: , ,,, S – punkt wyznaczany z wcięcia

11 Przeliczenie współrzędnych z układu biegunowego B-Pi = B-C + i xPi = xB +di cos B-Pi yPi = yB + di sin B-Pi X C B-C Pi i Dane wsp. biegunowe: di i - kąt biegunowy punktu Pi di - odległość biegunowa B Y B – biegun układu - (stanowisko pomiarowe) BC – oś biegunowa, B-C - azymut osi bieg. obl. ze współrzędnych

12 Przeliczenie współrzędnych z układu prostokątnegoX C Do obliczenia: B-C i - kąt biegunowy punktu Pi di - odległość biegunowa Pi i B di i =  B-Pi - B-C XB YB Y Dane: XB , YB współrzędne bieguna układu XC , YC współrzędne punktu na osi biegunowej

13 Punkt przecięcia dwóch prostych (odcinków)A1 x + B1 y + C1= 0 {P1 , P2} A2 x + B2 y + C2= 0 {P3 , P4} YO = (C1 A2 - C2A1 )/(A1 B2 - A2 B1) XO = (C2 B1 – C1B2 )/(A1 B2 - A2 B1) Układ równań: X P2 Po P4 x1-2 = xP2 – xP1, y1-2 = yP2 – yP1 x3-4 = xP4 – xP3, y3-4 = yP4 – yP3 Współczynniki: A = - y, B = x, C = y xPk - x yPk (k=1 lub 3) P1 P3 Y

14 OBLICZENIE POLA POWIERZCHNI FIGURPole figury na podstawie miar: Z bezpośredniego pomiaru w terenie Z mapy Metody: graficzna (podział figury na trójkąty, trapezy, prostokąty) analityczna (z pomierzonych wymiarów, współrzędnych) mechaniczna (planimetry)

15 Metoda graficzna wyznaczania pól bazuje na miarach pomierzonych na mapie. Stawia metodę graficzną w grupie metod niższej dokładności. Pomiary na mapie elementów potrzebnych do obliczenia pola figury zawierają błędy. Błąd względny wyznaczania pola metodą graficzną w = 1/200. Figurę wybraną do pomiaru dzieli się na figury elementarne (trójkąty, prostokąty i trapezy), w których potrzebne długości odcinków mierzymy za pomocą cyrkla i podziałki. Metoda analityczna - elementy potrzebne do obliczenia są mierzone w terenie, a pole powierzchni określone jest na podstawie tych pomiarów lub ich funkcji (współrzędnych). Błąd względny pola: w = 1/1000 (gdy błąd pomiaru kątów będzie ±1’ , a błąd względny pomiaru długości boków nie większy od 1/2000). Metoda mechaniczna polega na pomiarze powierzchni na mapach przy użyciu planimetrów. Urządzenia te w wyniku przeprowadzonego pomiaru dają wartość odczytu kółka całkującego. Do obliczenia pola wykorzystuje się wzór: P = C1*n. C1 – stała planimetru zależna od skali rysunku i długości ramienia wodzącego przyrządu. Dokładność jest równoważna metodzie graficznej. Często stosowana w praktyce jest kombinacja metody analitycznej i graficznej. Ma szczególne zastosowanie przy pomiarach wąskich i długich działek. Z wstępnej analizy dokładności na podstawie wzoru: P = a*b, wnioskujemy, że decydujący wpływ na błąd pola, ma błąd boku krótkiego. Błąd względny pola: w = 1/ /500 zależnie od skali mapy.

16 1. Metoda graficzna podział figury na trapezySzablon linii równoległych w równych odstępach = h, na kalce (przeźroczystej folii), dzieli figurę na n trapezów. Cyrkiel pomaga w pomiarach średniej z obu podstaw każdego trapezu. cyrkiel bi P = h  b i

17 Automatyzacja obliczania powierzchni na mapachPrzyspieszenie obliczania pola figur na mapach analogowych i zwiększenie dokładności umożliwiają digimetry. Digimetr, to przetwornik graficzno-cyfrowy lub koordynatometr (digitizer), jest urządzeniem, które przetwarza informacje graficzne (rysunek, mapa) na postać cyfrową. Wyznaczenie pól figur na mapach numerycznych: przebiega automatycznie pod kontrolą programów systemu graficznego obsługującego mapę numeryczną. Sprowadza się to do wskazania kursorem ikony z paska narzędziowego, a także kolejnych punktów (wierzchołków) figury na mapie. Systemy informatyczne posiadają specjalne moduły, które ułatwiają proces obliczania pola w typowych zadaniach. W tym przypadku figury na mapach (rysunkach projektów) są obiektami, a pole figury jest jedną z cech, które uzyskuje się przez wskazanie dowolnego punktu obiektu.

18 Metoda graficzna - podział na trójkąty:Pi = (ai hi)/2 b c 1 2 h 3 4 a lub wz. Herona: q = (a+b+c)/2 Pi ={q(q-a)(q-b)(q-c)}½ Pole figury = Suma pól trójkątów:

19 3. Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych biegunowych:Różnica kątów biegunowych: 2 1 3  i =  i+1 - i n 4 ds.-i ds.-{i+1} n-1 S współrzędne biegunowe: S – stanowisko pomiarowe Punkt nr 1, 1 , ds.-1 12 S – biegun (stanowisko pomiarowe)

20 Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych prostokątnych:Obliczamy współrzędne wierzchołków figury lub odczytujemy z mapy. Wzór Gaussa: 2 3 1 4 n 11 12

21 Planimetry biegunowe wózkowe Planimetry biegunowemechaniczny elektroniczny 1/ /1000

22 Zasada planimetru biegunowegoKC P = (2 r/1000)RWM2 (Ok-Op) C1 = (2 r/1000) RWM2 P = C1 (Ok – Op) O W C1 = stała planimetru [m2] Ok – Op- różnica odczytów kółka P = C1 (Ok – Op) + C0 – biegun wewnątrz C0 = stała planimetru [m2] B B – biegun OW - Rw = długość ramienia wodzącego W – wodzik BO - RB = długość ramienia biegunowego KC – kółko całkujące r = promień kółka całkującego

23

24 Wyznaczenie stałej planimetruC1 : C2 : C3 : = RW1: RW2: RW3: . . . C1 : C2 : C3 : = M12 : M22 : M32 : . . . Mi – mianowniki skal rysunków C1 = Pt / (Ok – Op) Pt = pole figury testowej [m2] Ok , Op= odczyty kółka całkującego Aby uprościć obliczenia, można zmienić długość ramienia biegunowego, z R1 ustawionej na początku testu, na R2, przy której stała C2 będzie równa np. 10. Obliczamy długość : R2 = R1 * C2 / C1 ,

25 Obliczanie objętości budowli ziemnychDo określenia objętości bryły zawartej między powierzchnią terenu a powierzchnią projektowaną najczęściej stosowany jest sposób podziału tej bryły na graniastosłupy o podstawie kwadratu, prostokąta lub trójkąta. 1. Metoda siatki kwadratów prostokątów lub trójkątów. Wyznaczamy na powierzchni działki siatką figur (np. kwadratów) o określonej długości boku, np. a, w terenie (lub na mapie). dla każdego z wierzchołka figury określa się wysokość H k z pomiaru wysokościowego (na mapie z interpolacji między warstwicami). Na podstawie danych możemy wyznaczyć różnice wysokości punktów terenu i powierzchni projektowanej w wierzchołkach kwadratów o średnią dla graniastosłupa numerze k, h k = H k - H k Objętość k-tego graniastosłupa: V k = h k Pk . Dla całej bryły: V =  V k . Pk = pole podstawy graniastosłupa. W skryptach spotykamy wzory dla typowych zadań:  H i = H i - H i - różnice wysokości punktów (wierzchołków siatki kwadratów i=1,2,3,4)

26 Interpretacja wyznaczenia objętości nasypu metodą siatki figurH2 powierzchnia wtórna (góra bryły) H1 H3 H2 H1 powierzchnia pierwotna (spód bryły) H3 Vi = Pi [(H1 + H1 + H1)/3 - Ho] V’ =  Vi V” =  Vi P2 P1 P3 Poziom porównawczy Ho Objętość nadkładu: V = V’ - V” Pi – pole trójkąta (figury będącej podstawą graniastosłupa) V’ – suma objętości graniastosłupów do poziomu wtórnego (kolor niebieski) V” – suma objętości graniastosłupów do poziomu pierwotnego (kolor zielony) Punkty powierzchni wtórnej mogą tworzyć inną siatkę niż punkty powierzchni pierwotnej. Muszą jednak wypełniać obszar obejmujący obie powierzchnie.

27 Obliczanie objętości nasypu

28 Obliczanie objętości pryzmy węgla

29 Podział na elementy podłoża pryzmy

30 Obliczanie objętości robót ziemnych1. Metoda przekrojów obiektu: V = 0.5(P1+P2)*d , Dokładność wyznaczenia objętości zależy o odległości pomiędzy przekrojami. Powierzchnie przekrojów można wyznaczyć na przekrojach graficznie lub za pomocą planimetru. przekrój 2 przekrój 1 d

31 Metoda przekrojów poprzecznych stosowana powszechnie przy obliczaniu robót ziemnych w opracowaniach projektów tras komunikacyjnych i obwałowań. 3. Metoda przekrojów poziomych - obliczenie objętości w oparciu o dane z map warstwicowych Przy wyznaczaniu pojemności zbiorników wodnych oraz mas ziemnych na większych obszarach, dla których posiadamy mapę warstwicową, objętość obliczymy jako sumę brył ograniczonych płaszczyznami warstwic i powierzchnią terenu. Obliczana objętość jest sumą objętości warstw gruntu zawartego pomiędzy płaszczyznami warstwic w granicach budowli. DH— odstęp (różnica wysokości) sąsiednich warstwic, Dh — odległość powierzchni terenu od najwyższej lub najniższej płaszczyzny warstwowej o nr n, Pi — pole powierzchni ograniczonej i-tą warstwicą, które można wyznaczyć przy pomocy planimetru lub obliczyć ze współrzędnych

32 wyznaczone planimetrem z błędem mS = 0.005*S.mapa warstwicowa Pi+1 Pi P H Obiekt, przekrój Pi – Pola powierzchni figury ograniczonej warstwicą i brzegiem obszaru opracowania, wyznaczone planimetrem z błędem mS = 0.005*S.

33 Wymagania dokładnościoweMateriały i opracowania geodezyjne potrzebne do obliczania objętości Mapy sytuacyjno-wysokościowe (mo 25 cm - 50 cm zależnie od skali), Pomiary geodezyjne niwelacja metodą siatki kwadratów (boiska, place) mo 2 cm, niwelacja metodą punktów rozproszonych (dla powierzchni falistych) mo 5 cm, niwelacja metodą przekrojów podłużnych i poprzecznych (trasy komunikacyjne, brzegi rzek) mo 5 cm, tachimetria, dla zadań nie wymagających dużej dokładności (wysypiska, hałdy wyrobiska) mo 10 cm, fotogrametria naziemna lub aerofotogrametria dla terenów bez pokrycia obiektami mo 20 cm. Dokładność potrzebna do obliczenia objętości gruntu przy projektowaniu budowli ziemnych (wg normy PN-68/B-06050, dopuszczalna odchyłka wysokości punktu w siatce kwadratów 40X40 m wynosi H = 0.04m) Błąd dopuszczalny ukształtowania terenu m = 40*40*0.04 = = 64m3 Dla całego obiektu – figury o powierzchni S m2, wystąpi n = s/64 kwadratów,

34 Wymagania dokładnościoweGrunty podlegają zagęszczeniu. Wskaźnik zagęszczenia D zależy od rodzaju gruntu (wg normy D = <0,0.9 – 1.15>). Tolerancja dla wskaźnika zagęszczenia wynosi 2% Dopuszczalna odchyłka objętości z tytułu zagęszczenia gruntu równa się: 0.02D*V. Możemy do analiz przyjmować mz = 0.02 V. Rzeczywista dokładność obliczenia objętości gruntu zależy jeszcze od wilgotności, a także od osiadania. Największy wpływ ma jednak błąd metody numerycznej przyjętej do obliczeń. Wpływ błędów danych wysokościowych (z pomiarów lub odczytanych z mapy) na objętość gruntu zależy od liczby punktów obranych na powierzchni terenu. mo – błąd wyznaczenia wysokości punktu (0.02 –0.20 zależnie od metody), k - liczba punktów wierzchołków siatki.