1 Realimentacion de la salidaSistemas dinamicos Realimentacion de la salida

2 Contenido El estimador de estado El observador a lazo abiertoEl observador a lazo cerrado Diseño del observador El observador de orden reducido

3 El estimador de estado

4 El observador de estadoEl control por realimentacion de estados asume la disponibilidad de todas las variables de estado. En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, ya sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy dificil o muy caro medirlos.

5 El observador de estadoA fin de implementar una realimentacion de estados debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico cuya salida sea una estimacion del vector de estados: El observador de estados es una estimacion de x

6 Arquitectura del controlResultados validos si remplazando y(t) por Se asume el sistema conocido, con D = 0 Se usa una estimacion del estado para generar el control

7 El observador a lazo abierto

8 El observador a lazo abiertoIdea: Conociendo A y B, duplicar la ecuacion de estados original Usando solo la entrada para exitar el estimador de lazo abierto Si el sistema y el observador tienen las mismas condiciones iniciales, entonces, para, para cualquier entrada

9 Calculo del estado inicialSi el sistema es observable, su estado inicial x(0) puede ser calculado de u y y en cualquier intervalo de tiempo, por ejemplo, [0, t1]. ¿Como hallar el estado inicial x(0) del sistema para usarlo en el observador?

10 Calculo del estado inicialPasos a implementar en el observador: Calcular el estado inicial x(0) Calcular el estado en t2 y hacer Entonces: para todo t  t2. ¿algun problema?

11 (los valores propios de la matriz A).Dinamica del error La ecuacion del error de estimacion esta dada por Si A es Hurwitz, entonces → 0 cuando t → ∞. Por lo tanto, la dinamica del error esta completamente determinada por la dinamica en lazo abierto del sistema (los valores propios de la matriz A). ¿algun problema?

12 Limitaciones del observador a lazo abiertoEl observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas: Aun con la matriz A estable, esta dinamica pudiera ser muy lenta. Si A tiene autovalores con parte real positiva, entonces cualquier pequeña diferencia entre y para algun t0, causada por un disturbio o una imperfeccion en la estimacion del estado inicial, hara que: crezca con el tiempo

13 El observador a lazo cerrado

14 El observador a lazo cerradoObservador a lazo cerrado = estimador asintotico Usando la entrada y la salida A, B and C son conocidos

15 El observador a lazo cerradoEstimador a lazo cerrado = estimador asintotico A, B and C son conocidos El error de estimacion de la salida, pasando por una ganancia constante L, es usado como un termino de correccion. Si el error es cero, no es necesaria ninguna correcion.

16 El observador a lazo cerradoEstimador a lazo cerrado = estimador asintotico A, B and C son conocidos Si la diferencia no es cero y si la ganancia L se diseña apropiadamente, la diferencia llevara al estado estimado a su estado real Forma simplificada

17 El error de estimacion El estado verdadero: El estado de estimado:La dinamica del error Si todos los autovalores de (A  LC) pueden ser asignados arbitrariamente, podemos controlar la velocidad con que el error de estimacion se aproxima a cero No hay necesidad de calcular el estado inicial de la ecuación de estado original.

18 Teorema Teorema de la asignacion de Autovalores en observadoresConsidere el par (A, C) Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.

19 Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. Prueba: Recurriendo a la dualidad controlabilidad/observabilidad, el par (A, C) es observable si y solo si (AT, CT) es controlable. Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT  CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (AT  CTK) es (A  KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT.

20 Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A  LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable. Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT  CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (AT  CTK) es (A  KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT. El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.

21 Procedimiento de diseño del observadorObtener el par (AT, CT). Si el par es controlable continuar  Elegir los valores propios deseados del observador en lazo cerrado  Usando (AT, CT), calcular la matriz de realimentacion K mediante el procedimiento para la asignacion de autovalores, via la forma canonica. Obtener L = KT con la funcion K = place(AT, CT,P) de MATLAB

22 Realimentacion de la salida

23 Arquitectura del controlResultados validos si remplazando y(t) por Se asume el sistema conocido, con D = 0 Se usa una estimacion del estado para generar el control

24 Dinamica del estado en lazo cerradoDefiniendo el estado del sistema aumentado, en lazo cerrado Partiendo de las ecuaciones

25 Dinamica del estado en lazo cerradoDinamica del error

26 Dinamica del estado en lazo cerradoLa dinamica del sistema aumentado: Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de

27 Caracteristicas La ecuacion de estado resultante no es controlable y la funcion de transferencia es igual a Esta es la funcion de transferencia del sistema realimentado original sin usar el estimador de estado El estimador es completamente cancelado en la funcion de transferencia desde r a y

28 Diseño del control Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de Esta es la propiedad de la separacion: la solucion en dos diseños separados Obtener los autovalores deseados de A – BK seleccionando la ganancia de realimentacion Obtener los autovalores deseados de A – LC seleccionando la ganancia del observador

29 Ejemplo 1 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2. Solucion:

30 Ejemplo 1 Diseñar la realimentacion de estado u = r  Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2. Realimentacion de estado:

31 Ejemplo 1 Sistema original: Sistema realimentado:

32 Ejemplo 1 Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5. Solucion:

33 Ejemplo 1 Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5. Es estimador de estado:

34 Ejemplo 2 Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro

35 Ejemplo 2 Comprobamos si el par (AT, CT) es controlable desde la primera salida matlab sysO = ss(A',C',C,D) Q = ctrb(sysO)

36 Ejemplo 2 Se seleccionan los autovalores deseados del observadorescogidos por las propiedades de la respuesta Polinomio caracteristico deseado en lazo cerrado

37 Ejemplo 2 Polinomio caracteristico en lazo abiertoGanancia del observador, para el sistema en la forma canonica

38 Ejemplo 2 La ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, Finalmente

39 Ejemplo 2 El observador

40 Ejemplo 2 El observador con realimentacion Para

41 Ejemplo 2 Comparacion

42 Ejemplo 3 Considere el péndulo invertido del ejemplo anteriorSean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j . EJERCICIO: Diseñar el controlador con observador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el vector P.

43 El observador de orden reducido

44 El observador de orden reducidoSe supondra, ahora, que q de los n estados del sistema pueden ser medidos en forma directa. Estos estados se agrupan en el vector mientras que los restantes n − q estados se agrupan en La ecuacion de estado original C tiene rango completo de fila

45 El observador de orden reducidoSi C = [ I 0 ], entonces y(t) son los primeros q estados definiendo,

46 El observador de orden reducidodefiniendo Una base para Null(C)

47 El observador de orden reducido

48 El observador de orden reducidoDefiniendo la transformacion P Por la transformacion

49 El observador de orden reducidoTodos los estados x1 son accesibles. Solo necesitan ser estimados los ultimos nq elementos de Usando , tenemos Definiendo, En la ecuacion de salida se ha puesto de manifiesto que todos los estados x1 son accesibles y seran tomados como salidas para su realimentacion 

50 El observador de orden reducidoEl problema se reduce a diseñar un observador para el sistema: Definiendo,

51 El observador de orden reducidoDefiniendo, Requiere derivar la salida!!

52 El observador de orden reducidoPara eliminar la derivada, definir Entonces,

53 El observador de orden reducidoPara eliminar la derivada, definir Entonces,

54 El observador de orden reducidoEntonces, Estimar:

55 Realimentacion de los estados estimadosEl control se genera por la realimentacion de los estados estimados

56 Realimentacion de los estados estimadosSistema aumentado en lazo cerrado Existe separacion de los problemas de la estimacion de los estados y el control

57 Realimentacion de los estados estimadosSi (A, C) es observable, puede ser construido un estimador completo o de orden reducido con valores propios arbitrarios Si las variables de estado NO estan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado

58 Bibliografia A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

59 FIN