1 Refinamiento Rietveld. Difracción de rayos X.Samuel Ignacio Zapata Valencia

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3 Función de mínimos cuadrados𝑆 𝑦 = 𝑖 𝑊 𝑖 ( 𝑦 𝑖 𝑜𝑏𝑠 − 𝑦 𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐 ) 2 Intensidad de los picos de difracción de rayos X 𝑦 𝑖(𝑐𝑎𝑙𝑐) =𝑠 𝑘 𝐿 𝑘 𝐹 𝑘 2 𝜙 2 𝜃 𝑖 −2 𝜃 𝑘 𝑃 𝑘 𝐴 + 𝑦 𝑏𝑖

4 Factor de estructura Donde:𝐹 𝑘 = 𝑗 𝑁 𝑗 𝑓 𝑗 𝑒 2𝜋(ℎ 𝑥 𝑗 +𝑘 𝑦 𝑗 +𝑙 𝑧 𝑗 ) 𝑒 −𝑀 𝑗 Donde: 𝑀 𝑗 =8 𝜋 2 𝑢 𝑠 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝜆 2

5 Perfil de un pico de difraccióna. Gaussiana 𝐺= 4𝑙𝑛2 𝐻 𝑘 𝜋 𝑒 − 4ln⁡(2) ( 2𝜃 𝑖 −2 𝜃 𝑘 ) 2 𝐻 𝑘 2 b. Lorentziana 𝐿= 𝐻 𝑘 𝜋 ∙ ( 2𝜃 𝑖 −2 𝜃 𝑘 ) 2 𝐻 𝑘 2 c. Pseudo- Voigt (pV) 𝑝𝑉= 𝜂𝐿+ 1−𝜂 𝐺

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7 Modelado del fondo del patrón de difracción ( 𝑦 𝑏𝑖 )Fase amorfa Modelado del fondo del patrón de difracción ( 𝑦 𝑏𝑖 ) Fluorescencia Señal del soporte 𝑦 𝑏𝑖 = 𝑚=0 5 𝐵 𝑚 2 𝜃 𝑖 𝐵𝐾𝑃𝑂𝑆 −1 𝑚

8 Ajuste del refinamiento𝑅 𝑤𝑝 = 𝑤 𝑖 𝑦 𝑖(𝑜𝑏𝑠) − 𝑦 𝑖(𝑐𝑎𝑙𝑐) 𝑊 𝑖 𝑦 𝑖(𝑜𝑏𝑠) /2 Residuo del patrón (Rwp) 𝑅 𝑒𝑥𝑝 = (𝑁−𝑃) 𝑊 𝑖 𝑦 𝑖(𝑜𝑏𝑠) /2 Valor esperado (Rexp)

9 Ajuste del refinamientobondad (χ²) 𝜒 2 = 𝑅 𝑤𝑝 𝑅 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝐵 = 𝑦 𝑖(𝑜𝑏𝑠) − 𝑦 𝑖(𝑐𝑎𝑙𝑐) 𝑦 𝑖(𝑜𝑏𝑠) Residuo de Bragg (RB)

10 Programas Rietan Fullprof DBWS GSAS

11 Refinamiento Rietveld en TiO2

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14 Ejemplo tomado de Ejemplo tomado de