1 Renata Maciaszczyk Kamila Kutarba
2 Teoria gier a ekonomia: problem duopolu Dupol- stan w którym dwaj producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś produktu Problem duopolu polega na określeniu wysokości prdukcji przy której producent osiąga największy zysk
3 Przyjmiemy zmienne: q i wielkość produkcji(w tysiącach sztuk) producenta AC i – średni koszt (w $) wyprodukowania jednej sztuki przez producenta i TC=q*AC – łączne koszty produkcji producenta i MC i = koszt krańcowy, koszt (na jedną sztukę ) nieznacznego zwiększenia produkcji przez producenta p- cena sprzedaży jednej sztuki produktu P=q*p-TC zysk producenta i w tysiącach $
4 Przykład :średni koszt wyprodukowania jednej sztuki określają następujące funkcje AC 1 =64-4q 1 +q 1 2 AC 2 =80-4q 2 +q 2 2
5 Koszty produkcji Dla obu firm średni koszt produkcji wraz z jej wzrostem początkowo maleje dzięki efektywniejszemu wykorzystywaniu zasobów firmy, osiągając minimum w punkcie q = 2, po czym zaczyna wzrastać, gdy zwiększanie produkcji wymaga dodatkowego kapitału i zwiększenia zatrudnienia. Producent 1 jest bardziej wydajny niż Producent 2. Niezależnie od wielkości produkcji, ma koszty produkcji niższe o 16 dolarów na jednej sztuce.
6 Koszty krańcowe obliczamy różniczkując łączne koszty produkcji TC 1 =64q 1 -4q 1 2 +q 1 3 TC 2 =80q 2 -4q 2 2 +q 2 3 MC 1 =64-8q 1 +3q 1 2 MC 2 =80-8q 2 +3q 2 2 Założenie co do relacji pomiędzy całkowitą wartością produkcji a możliwą do uzyskania ceną jednej sztuki p=160-8(p 1 +p 2 )
7 Jeśli podaż jest bardzo mała jedną sztukę można sprzedać za 160 dolarów. Gdy produkcja wzrasta, sprzedaż wszystkiego co zostało wyprodukowane jest możliwa po obniżeniu ceny. Zysk producenta można obliczyć P 1 =q 1 (160-8q 1 -8q 2 )-(64q 1 -4q 1 2 +q 1 3 )=96q 1 -4q 1 2 -q 1 3 -8q 1 q 2 Analogicznie P 2 =q 2 (160-8q 1 -8q 2 )-(80q 2 -4q 2 2 +q 2 3 )=80q 2 -4q 2 2 -q 2 3 -8q 1 q 2
8 Każdy z producentów dąży do osiągnięcia takiego poziomu produkcji aby zmaksymalizować zysk. Musimy uwzględnić fakt że zysk zależny jest nie tylko od działań firmy ale także od wielkości produkcji konkurenta. Mamy więc do czynienia z grą
9 Obie firmy produkują na początku niewielkie ilości towary a następnie zwiększają produkcję do momentu gdy koszt krańcowy osiągnie wartość możliwą do osiągnięcia ceny sprzedaży. Mamy tu doczynienia z klasyczną równowagą rynkową MC 1 =p=MC 2
10 Czyli u nas 64 - 8q 1 + 3q 1 2 = 160 – 8(q 1 + q 2 ) = 80 - 8q 2 + 3q 2 2 Rozwiązując układ równań 8q 2 = 96 - 3q 1 2 8q 1 = 80 - 3q 2 2 Otrzymujemy q 1 = 4,69 q 2 = 3,76 Przy takim poziomie produkcji w obu firmach cena sprzedaży wynosi 92$ Natomiast zyski P 1 = 118, P 2 = 50.
11 Klasyczna równowaga rynkowa nie uwzględnia faktu, iż wielkość produkcji obu producentów wpływa na cenę produktu. Gdyby produkcja była mniejsza, cena byłaby wyższa i możliwe, że pozwoliłoby to osiągnąć większe zyski. Możemy to przedstawić jako grę dwuosobową pomiędzy Producentem 1, a Producentem 2. q 2 2,02,53,03,54,0 2,0136,104128,119120,129112,132104,128 2,5159,96149,109139,117129,118119,112 3,0177,88165,99153,105141,104129,96 3,5188,80174,89160,93146,90132,80 4,0192,72176,79160,81144,76128,64 4,5188,64170,69152,69134,62116,48 5,0175,56155,59135,57115,4895,32 q1q1
12 Nie jest to gra o sumie zerowej Obaj producenci obniżając produkcję mogą podnieść swoje zyski Diagram przesunięć dla gry duopolu Producent 2 2 2,5 3 3,5 4 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Producent 1
13 Gra ma jedna równowagę Nasha Możemy znaleźć jej dokładne położenie wykorzystując fakt, że jest to punkt, w którym żaden z graczy nie może zwiększyć swojego zysku P i przez zmianę q i Zatem musi być spełniony układ równań: = 96 - 8q 1 - 3q 1 2 - 8 q 2 = 80 - 8q 2 – 3q 2 2 - 8 q 1 Rozwiązaniem tego układu równań są q 1 = 3,75 q 2 = 2,96 Przy takiej produkcji cena wyniesie 106 $, a zyski P 1 = 162 P 2 = 87. To rozwiązanie w ekonomii nosi nazwę równowagi Cournota.
14 Równowaga Nasha-Cournota w tej grze nie jest paretooptymalna, co zobaczymy zaznaczając wypłaty na wykresie – obie firmy zyskałyby na wzajemnej kooperacji. Jeżeli dopuścimy kooperację możemy wyznaczyć rozwiązanie arbitrażowe Nasha – znajduje się ono w punkcie q 1 = 3,30, q 2 = 2,40, przy cenie 114$ i zyskach P 1 = 174 i P 2 = 91. jest to wynik dla obu producentów korzystniejszy niż równowaga Nasha-Cournota.
15 Kooperacja Kooperacja w warunkach duopolu z reguły polegająca na zmniejszeniu produkcji i podniesieniu cen, jako niekorzystna dla konsumentów jest często nazywana „zmową producentów” i prawnie zakazywana
16 Wypłaty uboczne Rozpatrzmy sytuację gdy jedna z firm może przekazywać drugiej wypłaty uboczne W takiej sytuacji firmy mogą osiągnąć jeszcze wyższy zysk przy q 1 = 3,66, q 2 = 1,66, kiedy łączny zysk obu firm wynosi 269 (P 1 =200, P 2 =69). Jeśli Producent 1 przekaże Producentowi 2 wypłatę uboczną w wysokości 24 (a więc zyski obu firm będą wynosiły odpowiednio 176 i 93).
17 Z punktu widzenia producentów, rozwiązania można uporządkować od najbardziej do najmniej korzystnego: monopol kooperacja z wypłatami ubocznymi kooperacja bez wypłat ubocznych niekooperacyjna równowaga w grze klasyczna równowaga rynkowa Z punktu widzenia konsumenta uporządkowanie jest odwrotne.
18 Porównania wszystkich rozpatrywanych przez nas rozwiązań problemu duopolu. rozwiązanieq1q2P1P2p Klasyczna równowaga rynkowa 4,693,761185092 Równowaga Nasha (Cournota) 3,752,9616287106 Rozwiązanie arbitrażowe Nasha 3,302,4017391114 Rozwiązanie z wypłatami ubocznymi 3,661,6617693117 Monopol Producenta 14,48-260-124 Monopol Producenta 2-4,00-192128