1 Roger Miranda ColoradoDINÁMICA Y CONTROL DE ROBOTS UNIDAD 02 ECUACIONES DINÁMICAS DE NEWTON-EULER Roger Miranda Colorado

2 Dr. Roger Miranda ColoradoContenido 1. Aceleración del cuerpo rígido 1.1 Aceleración lineal 1.2 Aceleración angular 2. Ecuaciones de Newton-Euler 2.1 Iteraciones externas 2.2 Iteraciones internas 3. Ejemplos Dr. Roger Miranda Colorado

3 1. Aceleración del cuerpo rígidoCausas de movimiento Fuerzas o pares Problemas: Problema de control Dado Determinar Problema de simulación Dado Determinar Dr. Roger Miranda Colorado

4 1. Aceleración del cuerpo rígidoDado el sistema de referencia {B}, por definición las aceleraciones lineal y angular están dadas por: ¿Cómo obtener una expresión sencilla de las ecuaciones anteriores? Dr. Roger Miranda Colorado

5 Dr. Roger Miranda Colorado1.1 Aceleración lineal Sea un punto pB. Para el sistema {A} se sabe que el vector de velocidad lineal consta de tres componentes: Velocidad del origen de {B} w.r.t. {A} Velocidad del punto en {B} Velocidad inducida por el movimiento rotacional Suponiendo que inicialmente los orígenes de {A} y {B} son coincidentes: Dr. Roger Miranda Colorado

6 Dr. Roger Miranda Colorado1.1 Aceleración lineal De esta manera la aceleración lineal del punto p cuando los orígenes de los sistemas de referencia coinciden es: Dr. Roger Miranda Colorado

7 Dr. Roger Miranda Colorado1.1 Aceleración lineal Cuando los orígenes no coinciden se tiene: … y cuando el punto p es fijo se simplifica a: Dr. Roger Miranda Colorado

8 Dr. Roger Miranda Colorado1.2 Aceleración angular Dados los sistemas de referencia {A,B,C}, es claro que: por lo que derivando con respecto al tiempo se obtiene: Las expresiones anteriores permiten llevar a cabo el análisis dinámico de un manipulador como se verá a continuación. Dr. Roger Miranda Colorado

9 2. Ecuaciones de Newton-EulerLa distribución de masa de un cuerpo se determina completamente conociendo: Su centro de masa Tensor de inercia Relación entre fuerzas, inercias y aceleraciones Ecuaciones de Newton (traslación) Ecuaciones de Euler (rotación) Ecuaciones de Newton-Euler Dr. Roger Miranda Colorado

10 2. Ecuaciones de Newton-EulerDado un cuerpo rígido al que se le aplica una fuerza F en su centro de masa, la ecuación de Newton establece que: En caso de que se tenga un movimiento rotacional es claro que el momento resultante es: Dr. Roger Miranda Colorado

11 2. Ecuaciones de Newton-EulerPara determinar las ecuaciones dinámicas de un robot manipulador se obtendrán las ecuaciones de Newton-Euler siguiendo un procedimiento que involucra un conjunto de: Iteraciones externas: permiten el cálculo de las fuerzas y pares totales que actúan en cada eslabón. Iteraciones internas: permiten el cálculo de las fuerzas y pares de las articulaciones que provocarán las fuerzas y pares totales aplicados a cada eslabón. Dr. Roger Miranda Colorado

12 Dr. Roger Miranda Colorado2.1 Iteraciones externas Para articulaciones rotacionales se obtuvieron previamente las siguientes expresiones para el cálculo de la velocidad y aceleración angular: Entonces en el sistema {i+1}: Para el caso de articulaciones prismáticas se tiene: Dr. Roger Miranda Colorado

13 Dr. Roger Miranda Colorado2.1 Iteraciones externas Dados {i,i+1}, la aceleración lineal del origen del sistema de referencia {i+1} para articulaciones rotacionales es: Para articulaciones prismáticas se tiene: y para los centros de masa de cada eslabón se tiene: Válida para cualquier tipo de articulación Posición del centro de masa del eslabón i en {i} Dr. Roger Miranda Colorado

14 Dr. Roger Miranda Colorado2.1 Iteraciones externas Al conocer las aceleraciones de los centros de masa de cada eslabón, es posible aplicar las ecuaciones de Newton-Euler para determinar la fuerza y par que actúan en los centros de masa de cada eslabón de la siguiente manera: Dr. Roger Miranda Colorado

15 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas Considérese el diagrama de cuerpo libre de un eslabón: Fuerza ejercida por el eslabón i-1 sobre el eslabón i Par ejercido por el eslabón i-1 en el eslabón i De esta manera se obtiene la ecuación de balance de fuerza y de par: Dr. Roger Miranda Colorado

16 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas Se reescribe la ecuación de balance de par como: Por lo tanto, reordenando términos: y los pares de articulación requeridos son: Articulación rotacional Articulación prismática Dr. Roger Miranda Colorado

17 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas Suponiendo que el extremo del robot es libre se considera: Cero De esta manera el algoritmo NE consiste en: 1. Determinar las velocidades y aceleraciones de modo iterativo desde el eslabón 1 hasta el eslabón n 2. Determinar las fuerzas y pares de interacción y los pares de las articulaciones de modo recursivo desde el eslabón n hasta el eslabón 1 Dr. Roger Miranda Colorado

18 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas Las ecuaciones de Newton-Euler se resumen para articulaciones rotacionales como: Iteraciones externas Iteraciones internas Dr. Roger Miranda Colorado

19 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas y para articulaciones prismáticas las ecuaciones de Newton-Euler son: Iteraciones externas Iteraciones internas Dr. Roger Miranda Colorado

20 Dr. Roger Miranda Colorado2.2 Iteraciones internas Hasta el momento no se ha considerado el efecto de los pares gravitacionales en el manipulador, pero su efecto se puede agregar fácilmente considerando: Vector de gravedad, apuntando en dirección opuesta a la propia del manipulador considerado Lo anterior produce el mismo efecto en los eslabones que la gravedad. Dr. Roger Miranda Colorado

21 Dr. Roger Miranda ColoradoEjemplo 1. Emplear las ecuaciones de Newton-Euler para determinar las ecuaciones dinámicas del siguiente robot manipulador. Se supone una distribución de masa tal que: la masa de cada eslabón se concentra en la parte final del mismo. Las masas respectivas son m1 y m2. Dr. Roger Miranda Colorado

22 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RRPrimero se ubican los centros de masa de los eslabones: Por la distribución de masa (masa puntual) se concluye que: Se considera que el robot no interactúa con el medio, por lo que en su efector final: En el caso de la base y el efecto de la gravedad se tiene: Dr. Roger Miranda Colorado

23 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RRPara la convención DH: Entonces se obtiene la cinemática directa: Ahora se emplearán las ecuaciones de Newton-Euler para obtener las ecuaciones dinámicas. Dr. Roger Miranda Colorado

24 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=0Se comienza con las iteraciones externas con i=0 comenzando con el cálculo de la velocidad y aceleración angular: Dr. Roger Miranda Colorado

25 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=0Ahora se determina la aceleración lineal: Dr. Roger Miranda Colorado

26 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=0Se calcula ahora la aceleración lineal del centro de masa del eslabón 1: Dr. Roger Miranda Colorado

27 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=0Ahora se determina la fuerza y par total en el primer eslabón: Ahora se repite el proceso para la iteración externa con i=1 Dr. Roger Miranda Colorado

28 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=1Se calculan la velocidad y aceleración angular con i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

29 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=1Se calcula la aceleración lineal con i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

30 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=1Se calcula la aceleración lineal del centro de masa del segundo eslabón con i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

31 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones externas: i=1Ahora se determina la fuerza y par total en el segundo eslabón: Ahora se procederá a hacer el análisis para la iteraciones internas. Dr. Roger Miranda Colorado

32 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=2Se comienza con i=2 para las iteraciones internas: Dr. Roger Miranda Colorado

33 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=2Se comienza con i=2 para las iteraciones internas: Dr. Roger Miranda Colorado

34 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=2Se comienza con i=2 para las iteraciones internas: Dr. Roger Miranda Colorado

35 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=1Finalmente se calcula la iteración interna con i=1 para la fuerza: Dr. Roger Miranda Colorado

36 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=1Finalmente se calcula la iteración interna con i=1 para el par: Dr. Roger Miranda Colorado

37 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RR Iteraciones internas: i=1Finalmente se calcula la iteración interna con i=1 para el par: Dr. Roger Miranda Colorado

38 Ejemplo 1: ecuaciones Newton-Euler robot RRPor lo tanto, las ecuaciones dinámicas del sistema son: Dr. Roger Miranda Colorado

39 Dr. Roger Miranda ColoradoEjemplo 2. Emplear las ecuaciones de Newton-Euler para determinar las ecuaciones dinámicas del siguiente robot manipulador. Dr. Roger Miranda Colorado

40 Ejemplo 2 ecuaciones Newton-Euler robot PRRPrimero se determina la cinemática directa del manipulador como se indica a continuación: 𝑖 𝛼 𝑖−1 𝑎 𝑖−1 𝑑 𝑖 𝜃 𝑖 1 2 3 e 𝐿 1 𝑑 1 L3 −90 𝐿 2 𝜃 2 Le L2 90 𝐿 3 𝜃 3 z2 x2 𝐿 𝑒 x3 d1 y3 xe xe xe xe ye ye ye ye -y2 x1 y1 z3 x0 x0 x0 x0 x0 y0 y0 y0 y0 y0 ze ze ze ze z1 L1 z0 z0 z0 z0 z0 UNIDAD 03. Cinemática del Manipulador

41 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRRAhora se determinan las matrices de transformación del manipulador: 𝑇𝑖 𝑖−1 = 𝑐 𝜃 𝑖 − 𝑠 𝜃 𝑖 𝑠 𝜃 𝑖 𝑐 𝛼 𝑖−1 𝑐 𝜃 𝑖 𝑐 𝛼 𝑖− 𝑎 𝑖−1 − 𝑠 𝛼 𝑖−1 − 𝑑 𝑖 𝑠 𝛼 𝑖− 𝑠 𝜃 𝑖 𝑠 𝛼 𝑖−1 𝑐 𝜃 𝑖 𝑠 𝛼 𝑖− 𝑐 𝛼 𝑖−1 𝑑 𝑖 𝑐 𝛼 𝑖− UNIDAD 03. Cinemática del Manipulador

42 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRRPara aplicar las ecuaciones de Newton-Euler se considera de modo inicial la ubicación de los centros de masa de los eslabones: Se consideran los tensores de inercia calculados en los centros de masa de los eslabones como: Dr. Roger Miranda Colorado

43 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRRNo se considera que el manipulador se encuentre en contacto con el medio, por lo que: Considerando que la base del robot es fija se obtiene: y considerando el efecto de la gravedad: Ahora se procederá a aplicar las ecuaciones de Newton-Euler para i=0,1,2. Dr. Roger Miranda Colorado

44 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=0Se comienza con i=0 para iteraciones externas y articulación prismática: Dr. Roger Miranda Colorado

45 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=0Se comienza con i=0 para iteraciones externas y articulación prismática: Dr. Roger Miranda Colorado

46 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=1Ahora se continúa con la articulación rotacional para i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

47 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=1Ahora se continúa con la articulación rotacional para i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

48 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=1Ahora se continúa con la articulación rotacional para i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

49 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=2Finalmente se analiza la articulación rotacional para i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

50 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=2Finalmente se analiza la articulación rotacional para i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

51 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=2Finalmente se analiza la articulación rotacional para i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

52 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones externas: i=2Finalmente se analiza la articulación rotacional para i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

53 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=3Ahora se realizan las iteraciones internas para la articulación rotacional con i=3: No se considera que el manipulador entre en contacto con el medio por lo que las fuerzas y pares en el efector final se consideran nulos. Dr. Roger Miranda Colorado

54 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=3Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=3: Dr. Roger Miranda Colorado

55 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=3Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=3: Dr. Roger Miranda Colorado

56 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=2Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

57 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=2Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

58 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=2Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=2: Dr. Roger Miranda Colorado

59 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRR Iteraciones internas: i=1Iteraciones internas para la articulación rotacional con i=1: Dr. Roger Miranda Colorado

60 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRRDe esta manera, las ecuaciones dinámicas del manipulador son: x0 y0 z0 xe ye ze z1 z2 z3 x1 x2 x3 y1 -y2 y3 L1 d1 L2 L3 Le Dr. Roger Miranda Colorado

61 Ejemplo 2: ecuaciones Newton-Euler robot PRRUn aspecto importante es que las ecuaciones anteriores pueden factorizarse de la siguiente manera: donde: Dr. Roger Miranda Colorado

62 Roger Miranda ColoradoFIN UNIDAD 02: ECUACIONES DINÁMICAS NEWTON-EULER Roger Miranda Colorado