1 Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez PiedrahítaSolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer Autores: Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta

2 La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Ejemplo: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4

3 Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremosPara resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer: Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:

4 De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z. Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.

5 Paso 2 : Resolver la determinante del sistema ( )El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus. = Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

6 Diagonales Principales Diagonales SecundariasSe multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias = = Diagonales Principales Diagonales Secundarias

7 Se multiplican los términos de las diagonales principales.= = Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.

8 Se multiplican los términos de las diagonales secundarias.= = Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.

9 Finalmente se efectúa la operación correspondiente.= = -96 Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.

10 Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremosLa determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones. Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos

11 De esta manera nos quedaría así:= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

12 Paso 4 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.

13 = = Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

14 = = - 48 Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.

15 Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremosLa determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones. Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos

16 De esta manera nos quedaría así:= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

17 Paso 6 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.

18 = = Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

19 = = 8 - 40 - 32 Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.

20 Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremosLa determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones. Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos

21 De esta manera nos quedaría así:= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

22 Paso 8 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.

23 = = Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

24 = = - 24 Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.

25 Paso 9: Hallar el valor de x.El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

26 De esta manera = = Siendo éste el valor de x.Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

27 Paso 10: Hallar el valor de y.El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

28 De esta manera = = Siendo éste el valor de y.Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

29 Paso 11: Hallar el valor de z.El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

30 De esta manera = = Siendo éste el valor de z.Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

31 Paso 12: Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema.2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+3( )+4( ) = 3 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

32 Paso 13: Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema.2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+6( )+8( ) = 5 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

33 Paso 14: Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema.2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( ) = 4 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

34 Por lo tanto para el sistema La solución es:Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones Por lo tanto para el sistema La solución es: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 x = y = z =