1 Równania rekurencyjne i ich zastosowaniaLiniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z Stabilność: ciągi monotoniczne i okresowe, układy dynamiczne Rola stabilności: metoda Newtona, macierze Markowa, fraktale Chaos na odcinku

2 Egzamin Część pisemna (obowiązkowa) zadania rachunkowe zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz z dowodami) samodzielne dowodzenie prostych twierdzeń Część ustna (opcjonalna) - możliwość podniesienia oceny z części ustnej teoria wraz z zagadnieniami z ćwiczeń autorskie propozycje studentów

3 Systemy Lindenmayera (L-systems) Glon arabaena catenula komórki nie podlegające podziałom komórki ulegające podziałom duże małe

4 Systemy Lindenmayera P - duża komórka powodująca rozrost w prawo L - duża komórka powodująca rozrost w lewo p - mała komórka powodująca rozrost w prawo l - mała komórka powodująca rozrost w lewo reguły podziału L l P l l P P L p p L p

5 Systemy Lindenmayera L | p l | P L | p l | P L | p l | P L | p

6 Systemy Lindenmayera : Formalizacja - alfabet - słowo (długości 8) - konkatenacja słów - zbiór słów

7 Systemy Lindenmayera : Formalizacja Reguły podziału komórek (liter) determinują podziały organizmów (słów) wg wzoru Np.

8 Systemy Lindenmayera Pytania: ? ? ?

9 śmierć z przeludnieniaGra »Life« Conwaya: Zasady Stan przed zmianą Liczba sąsiadów Stan po zmianie Opis ,,socjologiczny” pełna 0-1 pusta śmierć z samotności pełna 4-8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny ,,rodzice” umierają z samotności narodziny

10 śmierć z przeludnieniaGra »Life« Conwaya: Zasady Stan przed zmianą Liczba sąsiadów Stan po zmianie Opis ,,socjologiczny” pełna 0-1 pusta śmierć z samotności pełna 4-8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny ,,rodzą” się 2 nowe tracąc 2 ,,rodziców” śmierć z przeludnienia łódka stoi w miejscu

11 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 Żaba ,,skok” ,,lądowanie”

12 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

13 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

14 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

15 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

16 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 0

17 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 1

18 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 2

19 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 3

20 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 4

21 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 5

22 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 6

23 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 7

24 Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 8

25 Właściwą scenerię dla A stanowi torusAutomorfizm Arnolda (Arnold’s cat map) = liczba pikseli w pionie/w poziomie Właściwą scenerię dla A stanowi torus a nie płaszczyzna

26 Kot Arnolda Po 1-krotnym działaniu A Po 2-krotnym działaniu A To ja w roli kota Arnolda

27 Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie.Kot Arnolda Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie. Nowy rodzaj kryptografii - kryptografia chaotyczna? Po 5-krotnym działaniu A

28 Macierze Markowa Frakcje polityczne: (1), (2) i (3).- prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i na j - rozkład poparcia w n-tych wyborach

29 Macierze Markowa ,,Twierdzenie ergodyczne”Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu stały rozkład poparcia niezależnie od rozkładu początkowego Praktycznie stałe już przy n=8 wyborach Mariaż powyższego z teorią gier i systemów głosowania pozwala wyjaśnić dlaczego w większości rozwiniętych parlamentów istnieją tylko dwie partie (np. Anglia, Stany Zjednoczone)

30 Wzrost wykładniczy Model kapitalizacji (procent składany); inflacja- kapitał po n latach , oprocentowanie Rozpad połowiczny; datowanie C-14 T - czas półrozpadu - masa materiału promieniotwórczego po czasie nT Prawo Malthusa; bakterie - wielkość populacji w n-tym pokoleniu - współczynnik narodzin

31 Wzrost wykładniczy Króliki Leonarda z Pizy- liczba par królików w n-tym miesiącu hodowlę zaczynamy od 1 pary miesięczne - niezdolne do rozrodu nowo narodzone wzór asymptotyczny

32 Ograniczona oscylacjaŻniwowanie (harvesting); rozsądne połowy - masa złapanych homarów w n-tym roku Np. dla Maine = ton = ton lobster - homar rekord! Odszukać wartość i porównać z modelem

33 Generator liczb pseudolosowychZależność logistyczna Model Verhulsta - gęstość populacji - współczynnik przyrostu Przeludnienie hamuje rozwój Generator liczb pseudolosowych chaotyczne!