1 Równania różniczkowe - przeglądMETODY NUMERYCZNE Wykład 7 Równania różniczkowe - przegląd dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH Met.Numer. wykład
2 Równania różniczkowe - wprowadzenieRównania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w: Fizyce (np. równania Maxwell’a) Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego) Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych) Automatyce (np. warunki sterowalności układu) i wielu innych dziedzinach nauki i techniki Met.Numer. wykład
3 Równania różniczkowe zwyczajneRównania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej. M Przykład: Met.Numer. wykład
4 Cząstkowe równania różniczkoweCząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych. Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu: Met.Numer. wykład
5 Cząstkowe równania różniczkoweZauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1 znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x) є R+ x Rn i kładąc dla s є R dostajemy: Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania. Met.Numer. wykład
6 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkoweZagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe: ma rozwiązanie: Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne Met.Numer. wykład
7 Rozwiązywanie zagadnień początkowychWprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania Met.Numer. wykład 6
8 Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonejBłąd metody Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1 h – krok całkowania Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci: Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej Met.Numer. wykład 6
9 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodneW celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego: podstawmy: wówczas: Met.Numer. wykład
10 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodneZatem: Rozwiązaniem zagadnienia jest więc: Met.Numer. wykład
11 Całka zupełna dla równań rzędu 1Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci: gdzie: Met.Numer. wykład
12 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegoweOgólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego) Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie. Met.Numer. wykład
13 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegoweStaramy się połączyć punkt xєΩ z pewnym punktem x0єГ pewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej: Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s): Met.Numer. wykład
14 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegoweZ drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi: Zakładamy, że: Met.Numer. wykład
15 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegoweOtrzymujemy wtedy: Ostatecznie otrzymujemy: Met.Numer. wykład
16 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegoweStosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej. Met.Numer. wykład
17 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykładRozpatrzmy układ: Wówczas równania charakterystyk mają postać: Met.Numer. wykład
18 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykładRozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie: Met.Numer. wykład
19 Równanie liniowe rzędu 2Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać: Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać: A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3 Met.Numer. wykład
20 Transformacja Laplace’aCałką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci: Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą. Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna. Met.Numer. wykład
21 Transformacja Laplace’a c.d.Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a. Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako: Met.Numer. wykład
22 Transformacja odwrotna Laplace’aTransformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem: Met.Numer. wykład
23 Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcjeTransformata pochodnej: Transformata całki: Met.Numer. wykład
24 Własności transformacji Laplace’aLinowość: gdzie a, b, c to współczynniki Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej: Jeśli to Zmiana skali Jeśli to Met.Numer. wykład
25 Transformacja Laplace’a - przykładRozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a: Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy: Met.Numer. wykład
26 Transformacja Laplace’a – przykład c.d.Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych Met.Numer. wykład
27 Transformacja Laplace’a – przykład c.d.Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania Uwzględniając że: Rozwiązanie równania wynosi: Met.Numer. wykład
28 Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’aRównanie Poissona Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a Met.Numer. wykład
29 Równanie Poissona Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej: Met.Numer. wykład
30 Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena:Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena: Met.Numer. wykład
31 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda EuleraMetoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci: Przykłady: Met.Numer. wykład
32 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda EuleraDla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0 y Φ krok h x wartość prawdziwa y1, wartość przewidywana Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0) Met.Numer. wykład
33 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda EuleraPo przekształceniu otrzymujemy: Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy: Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako: Met.Numer. wykład
34 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda EuleraMożna zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny: y wartość prawdziwa yi+1, wartość przewidywana yi Φ h krok x xi xi+1 Met.Numer. wykład
35 Metoda Eulera - PrzykładKula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład
36 Metoda Eulera – Przykład c.d.Wzór rekurencyjny metody Eulera: Zakładamy krok h = 240 Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład
37 Metoda Eulera – Przykład c.d.Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = : Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K Czy to prawda? Met.Numer. wykład
38 Metoda Eulera – Przykład c.d.Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera. czas t(s) dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) Met.Numer. wykład
39 Metoda Eulera – Przykład c.d.Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 110.32 546.77 614.97 632.77 252.54 82.964 15.566 5.0352 2.2864 Met.Numer. wykład
40 Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzęduRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Metoda Rungego-Kutty pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci: Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora: Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu Met.Numer. wykład
41 dla metody czwartego rzędu:Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco: dla metody czwartego rzędu: Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego? Met.Numer. wykład
42 Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór:Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie: aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań: zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe Met.Numer. wykład
43 Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Metoda Heun’a Metoda midpoint Metoda Raltson’a Met.Numer. wykład
44 Metoda Rungego - Kutty - PrzykładKula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład
45 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dla metody Heun’a: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200: Met.Numer. wykład
46 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K Met.Numer. wykład K
47 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 584.27 651.35 649.91 648.21 160.82 9.78 0.58 0.36 0.10 Met.Numer. wykład
48 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Porównanie dotychczas przedstawionych metod: czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi: Rozmiar kroku h Θ(480) Euler Heun Midpoint Ralston 480 240 120 60 30 110.32 546.77 614.97 632.77 584.27 651.35 649.91 648.21 1208.4 976.87 690.20 654.85 649.02 449.78 690.01 667.71 652.25 648.61 Met.Numer. wykład
49 Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór:Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie najczęściej przyjmuje się że: Met.Numer. wykład
50 Metoda Rungego - Kutty - PrzykładKula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład
51 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład
52 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Met.Numer. wykład
53 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dla i = 1, t1 = 240, Θ1 = 675,65: Met.Numer. wykład
54 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu. czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 594.91 646.16 647.54 647.57 113.94 8.1319 Met.Numer. wykład
55 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędówDla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego można dokonać podstawienia: Met.Numer. wykład
56 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędówOtrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań: Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego Met.Numer. wykład
57 Po podstawieniu równanie przybiera postać:Przykład Rozwiąż równanie: oraz oblicz y(0.75) Podstawiając: Po podstawieniu równanie przybiera postać: Met.Numer. wykład
58 W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań:Przykład c.d. W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań: Stosując metodę Eulera: Met.Numer. wykład
59 Przykład c.d. Krok 1: Met.Numer. wykład
60 Przykład c.d. Krok 2: Met.Numer. wykład
61 Przykład c.d. Krok 3: Met.Numer. wykład
62 Otrzymane rozwiązanie to:Przykład c.d. Otrzymane rozwiązanie to: Wartość dokładna to: Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi: Met.Numer. wykład
63 Warunki początkowe i brzegoweZależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q: q υ L x q υ L x Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0 Met.Numer. wykład
64 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe. Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład
65 Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie:Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie: Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50: Met.Numer. wykład
66 Aproksymujemy w punkcie i:Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Aproksymujemy w punkcie i: Met.Numer. wykład
67 Po podstawieniu wartości:Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Po podstawieniu wartości: Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły: Met.Numer. wykład
68 Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2):Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2): Met.Numer. wykład
69 Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4):Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4): Met.Numer. wykład
70 Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako:Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako: Rozwiązanie powyższego kładu równań daje: Met.Numer. wykład
71 Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi:Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi: Rozwiązanie analityczne daje: Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową: Met.Numer. wykład
72 Mikro- i nanobelki w sensorachMet.Numer. wykład
73 Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnegoRównanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji. W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu ∂V. Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg ∂V: η – wektor normalny do ∂V, dS - miara na powierzchni ∂V Met.Numer. wykład
74 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawoweRównanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplace’a – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.: Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy: Met.Numer. wykład
75 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawoweJeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu: Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplace’a: Met.Numer. wykład
76 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawoweJeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie: Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia rn-1 otrzymujemy: Met.Numer. wykład
77 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawoweI ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia: Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła: Met.Numer. wykład
78 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawoweRozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję: Met.Numer. wykład
79 Rozkład temperatury w czujnikachMet.Numer. wykład
80 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’AlambertaBadanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny. Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej. Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia: Met.Numer. wykład
81 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’AlambertaRozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem: Gdzie F i G są funkcjami klasy C2(R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy: Met.Numer. wykład
82 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’AlambertaCałkując drugie równanie mamy: Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań jest para funkcji: Met.Numer. wykład
83 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’AlambertaStąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem d’Alamberta: Jeśli gєC2(R), hєC1(R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem d’Alamberta Zadanie domowe: wymuszone drgania struny Met.Numer. wykład
84 Rezonans struny Met.Numer. wykład
85 Określenie stabilności wg ŁapunowaRozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci: Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego? Met.Numer. wykład
86 Określenie stabilności wg ŁapunowaRozważmy: λ – wartości własne macierzy Met.Numer. wykład
87 Określenie stabilności wg ŁapunowaOtrzymujemy: x – jest to punkt asymptotycznie stabilny Met.Numer. wykład
88 Określenie stabilności wg ŁapunowaJeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że: x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym Met.Numer. wykład
89 Określenie stabilności wg ŁapunowaPunkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3): Met.Numer. wykład
90 Określenie stabilności wg ŁapunowaSens definicji Łapunowa ilustruje rysunek: Met.Numer. wykład
91 Określenie stabilności wg ŁapunowaLokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa Met.Numer. wykład
92 Stabilność rozwiązań równań różniczkowychPunkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania: Stabilność w sensie Łapunowa – jeśli startując z warunku początkowego x0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu. Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->∞. Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu. Met.Numer. wykład
93 Stabilność rozwiązań równań różniczkowychTwierdzenie Hartmana-Grobmana Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x’=f(x) i liniowe x’=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p. Tw. Łapunowa Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi Stabilny punkt równowagi Niestabilny punkt Met.Numer. wykład
94 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykładRozważmy układ równań: Szukamy punktów równowagi: Met.Numer. wykład
95 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykładMacierz linearyzacji: Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0): Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny. Met.Numer. wykład
96 Metoda różnic skończonychMetoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (xi,yi) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y: Met.Numer. wykład
97 Metoda różnic skończonych dla równania PoissonaPodstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy: Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład
98 Metoda różnic skończonych dla równania PoissonaPomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(xi,yj). Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi. W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie (xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach: Met.Numer. wykład
99 Metoda różnic skończonych przykładWyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m. Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0oC dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0oC do 100oC. Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla. Met.Numer. wykład
100 Metoda różnic skończonych przykładMet.Numer. wykład
101 Metoda różnic skończonych przykładProblem ten opisuje równanie Laplace’a Z warunkami brzegowymi: Met.Numer. wykład
102 Metoda różnic skończonych przykładPostać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury] Met.Numer. wykład
103 Metoda różnic skończonych – równania parabolicznePrzypomnijmy równanie paraboliczne: Z warunkami brzegowymi i początkowymi: Met.Numer. wykład
104 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczneDla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (xi,tj): Met.Numer. wykład
105 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczneOtrzymujemy: Po uwzględnieniu warunku brzegowego: Met.Numer. wykład
106 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczneSchemat jawny Warunek zbieżności schematu jawnego Met.Numer. wykład
107 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczneSchemat niejawny: Schemat niejawny jest zawsze zbieżny, niezależnie od wielkości kroku całkowania Met.Numer. wykład