1 RÓWNANIA WIELOMIANOWE

2 Równanie postaci W(x)=0 gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n. Liczba, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego to pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu W(x). Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy rozłożyć na czynniki wielomian i skorzystać z faktu, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. a · b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0 Rozwiązując równania wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów, wzory skróconego mnożenia, wzory na rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki w zależności od delty.

3 Zadanie: Rozwiąż równania: 1) 16x+32=0 16x=-32 x=-2 Z R ={-2} 2) (x-3)(3x+9)=0 x-3=0 ∨ 3x+9=0 x=3 ∨ 3x=-9 x=3 ∨ x=-3 Z R ={-3,3} 3) (4-x)(x+7)(5x+15)=0 4-x=0 ∨ x+7=0 ∨ 5x+15=0 -x=-4 ∨ x=-7 ∨ 5x=-15 x=4 ∨ x=-7 ∨ x=-3 Z R ={-7,-3,4}

4 4) 16x(x-3)(x+9)=0 16x=0 ∨ x-3=0 ∨ x+9=0 x=0 ∨ x=3 ∨ x=-9 Z R ={-9,0,3} 5) (x-3)(3x+9)=0 x-3=0 ∨ 3x+9=0 x=3 ∨ 3x=-9 x=3 ∨ x=-3 Z R ={-3,3} 6) (4-x)(x 2 +6x)(5x+5)=0 4-x=0 ∨ x 2 +6x=0 ∨ 5x+5=0 -x=-4 ∨ x(x+6)=0 ∨ 5x=-5 x=4 ∨ x=0 ∨ x+6=0 ∨ x=-1 x=4 ∨ x=0 ∨ x=-6 ∨ x=-1 Z R ={-6,-1,0,4}

5 7) (x+4)(2x-10)(x 2 -4)=0 x+4=0 ∨ 2x-10=0 ∨ x 2 -4=0 x=-4 ∨ 2x=10 ∨ x 2 =4 x=-4 ∨ x=5 ∨ x=-2 ∨ x=2 Z R ={-4,-2,2,5} 8) (x 2 -9)(x 2 -6x)=0 x 2 -9=0 ∨ x 2 -6x=0 x 2 =9 ∨ x(x-6)=0 x=-3 ∨ x=3 ∨ x=0 ∨ x-6=0 x=-3 ∨ x=3 ∨ x=0 ∨ x=6 Z R ={-3,0,3,6} 9) x 2 (x 2 -8x)(x+10)=0 x 2 =0 ∨ x 2 -8x=0 ∨ x+10=0 x=0 ∨ x(x-8)=0 ∨ x=-10 x=0 ∨ x=0 ∨ x=8 ∨ x=-10 Z R ={-10,0,8}

6 10) x 2 +x+4=0 a=1 b=1 c=4  =1-16=-15  < 0 x  Ø Z R = Ø 11) x 2 +6x+5=0 a=1 b=6 c=5  =36-20=16 x 1 =-5 x 2 =-1 Z R ={-5,-1} 12) x 3 +5x 2 +4x=0 x(x 2 +5x+4)=0 x=0 ∨ x 2 +5x+4=0 a=1 b=5 c=4  =25-16=9 x 1 =-4 x 2 =-1 Z R ={-4,-1,0}

7 13) x 3 +3x 2 +6x+18=0 (x 3 +3x 2 )+(6x+18)=0 x 2 (x+3)+6(x+3)=0 (x+3)(x 2 +6)=0 x+3=0 ∨ x 2 +6=0 x=-3 a=1 b=0 c=6  =0-24=-24  < 0 x  Ø Z R ={-3} 14) x 3 -8x 2 +x-8=0 (x 3 -8x 2 )+(x-8)=0 x 2 (x-8)+1(x-8)=0 (x-8)(x 2 +1)=0 x-8=0 ∨ x 2 +1=0 x=8 a=1 b=0 c=1  =0-4=-4  < 0 x  Ø Z R ={8}

8 15) x 3 -9x=0 x(x 2 -9)=0 x=0 ∨ x 2 -9=0 x 2 =9 x=-3 ∨ x=3 Z R ={-3,0,3} 16) x 3 -x=0 x(x 2 -1)=0 x=0 ∨ x 2 -1=0 x 2 =1 x=-1 ∨ x=1 Z R ={-1,0,1} 17) x 4 -1=0 (x 2 ) 2 -1 2 =0 (x 2 -1)(x 2 +1)=0 x 2 -1=0 ∨ x 2 +1=0 x 2 =1 ∨ x 2 =-1 x=-1 ∨ x=1 x  Ø Z R ={-1,1}

9 18) 3x 3 -x 2 -21x+7=0 (3x 3 -x 2 )+(-21x+7)=0 x 2 (3x-1)-7(3x-1)=0 (3x-1)(x 2 -7)=0 3x-1=0 ∨ x 2 -7=0 3x=1 ∨ x 2 =7 x= ⅓ ∨ x=- ∨ x= Z R ={-, ⅓, } 19) -2x 3 -5x 2 +8x+20=0 (-2x 3 -5x 2 )+(8x+20)=0 -x 2 (2x+5)+4(2x+5)=0 (2x+5)(-x 2 +4)=0 2x+5=0 ∨ -x 2 +4=0 2x=-5 ∨ x 2 =4 x=-2 ½ ∨ x=-2 ∨ x=2 Z R ={-2 ½, -2,2}

10 20) 2x 4 +x 3 +3x 2 +x+1=0 (2x 4 +x 3 +x 2 )+(2x 2 +x+1)=0 x 2 (2x 2 +x+1)+1(2x 2 +x+1)=0 (x 2 +1)(2x 2 +x+1)=0 x 2 +1=0 ∨ 2x 2 +x+1=0 x 2 =-1 2x 2 +x+1=0 x  Ø a=2 b=1 c=1  =1-8=-7  < 0 x  Ø Z R = Ø 21) 9x 3 -18x 2 +2x-4=0 (9x 3 -18x 2 )+(2x-4)=0 9x 2 (x-2)+2(x-2)=0 (x-2)(9x 2 +2)=0 x-2=0 ∨ 9x 2 +2=0 x=2 a=9 b=0 c=2  =0-72=-72  < 0 x  Ø Z R ={2}

11 22) x 3 -9x 2 +x-9=0 (x 3 -9x 2 )+(x-9)=0 x 2 (x-9)+1(x-9)=0 (x-9)(x 2 +1)=0 x-9=0 ∨ x 2 +1=0 x=9 ∨ x 2 =-1 x  Ø Z R ={9} 23) 3x 4 +6x 3 +3x 2 +6x=0 (3x 4 +6x 3 )+(3x 2 +6x)=0 x 3 (3x+6)+x(3x+6)=0 (x 3 +x)(3x+6)=0 x 3 +x=0 ∨ 3x+6=0 x(x 2 +1)=0 ∨ 3x=-6 x=0 ∨ x 2 +1=0 ∨ x=-2 x  Ø Z R ={-2,0}

12 24) –x 5 -4x 3 -x 2 -4=0 (–x 5 -4x 3 )+(-x 2 -4)=0 -x 3 (x 2 +4)-1(x 2 +4)=0 (-x 3 -1)(x 2 +4)=0 -x 3 -1=0 ∨ x 2 +4=0 x 3 =-1 ∨ x 2 =-4 x=-1 ∨ x  Ø Z R ={-1} 25) -x 4 -5x 2 -4=0 -(x 2 ) 2 -5x 2 -4=0 podstawiamy : x 2 =t -t 2 -5t-4=0 a=-1 b=-5 c=-4  =25-16=9 t 1 =-1 t 2 =-4 wracamy do podstawienia: x 2 =-1 ∨ x 2 =-4 x  Ø x  Ø Z R = Ø

13 26) x 8 -3x 4 -4=0 (x 4 ) 2 -3x 4 -4=0 podstawiamy : x 4 =t t 2 -3t-4=0 a=1 b=-3 c=-4  =9+16=25 wracamy do podstawienia: x 4 =-1 ∨ x 4 =4 x  Ø x= x=- Z R ={-, }