1 Rozkład wariancji z próby (rozkład  2 ) Pobieramy próbę x 1,x 2,...,x n z rozkładu normalnego o a=0 i  =1. Dystrybuanta rozkładu zmiennej x 2 =x 1 2 +x 2 2 +...+x n 2 jest dana następującą funkcją: gdzie  (y) jest funkcją gamma Eulera (silnią uogólnioną na liczby rzeczywiste).

2 Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą funkcją

3 Zasada największej wiarygodności (Maximum Likelihood Principle) Mamy próbę (x 1,x 2,...,x n ) f(x, ): funkcja określająca rozkład gęstości prawdopodobieństwa, gdzie jest zestawem parametrów rozkładu. Zasada największej wiarygodności: najlepsze maksymalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia próby. Ta zasada jest podstawą wszystkich metod estymowania parametrów rozkładu prawdopodobieństwa (a zatem i modelu matematycznego) z próby danych.

4 Ponieważ poszczególne elementy próby są niezależne iloraz wiarygodności funkcja wiarygodności

5 Przykład jakościowego porównywania dwu modeli poprzez obliczenie ilorazu wiarygodności Rzucamy monetą asymetryczną. Przypuszczamy, że albo prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest 2 razy większe niż prawdopobobieństwo wyrzucenia orła (A) albo odwrotnie (B). Przypuśćmy, że w 5 rzutach otrzymaliśmy 1 raz orła i 4 razy reszkę. Wtedy:

6 Przykład zastosowania zasady największej wiarygodności: obliczanie wartości średniej przy założeniu, że rozkład prawdopodobieństwa jest rozkładem normalnym Jeżeli  1 =  2 =…=  n = 

7 Właściwości asymptotyczne funkcji wiarygodności Dla dużych prób

8 Przypadek wielowymiarowy

9 Dla dużych prób rozkład parametrów staje się rozkładem normalnym z macierzą wariancji-kowariancji B. Jeżeli jednak liczebność próby jest ograniczona to odchylenia od normalności rozkładu mogą być znaczne.

10 Obszary ufności w przestrzeni parametrów Obszar ufności definiujemy jako taki obszar w otoczeniu wartości oczekiwanej wektora parametrów i ograniczony powierzchnią o stałej gęstości prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo znalezienia w nim prawdziwych wartości parametrów jest nie mniejsze niż zadana wartość (kwantyl). W jednym wymiarze mówimy o przedziale ufności. 1 2 P=g 1 2 *

11 W jednym wymiarze

12     

13 Ogólnie dla wielowymiarowego rozkładu Gaussa

14