1 Ruch harmoniczny prosty

2 Ruch harmoniczny prostyF = -kx W dowolnej chwili F = ma Ale tutaj F = -kx ma = Więc: -kx = ma = a k m x Tj różniczkowe równ. na x(t)!

3 Ruch harmoniczny prostyniech gdzie w jest szybkością kątową Niech x = A cos(t)

4 Ruch harmoniczny prostyjak  może mieć coś wspólnego z ruchem po linii prostej?? x = R cos  = R cos (t) x  1 1 1 2 2 q cos q 3 3  4 6 -1 4 6 5 5

5 Ruch harmoniczny prosty -rozwiązaniePokazaliśmy, że ma rozwiązanie x = A cos(t) . Ale x = A sin(t) tez może być rozwiązaniem. Ogólne rozwiązanie jest liniową kombinacją obydwu! x = B sin(t)+ C cos(t)

6 Ruch harmoniczny prostyOgólne rozwiązanie: x = A cos(t + ) jest równoważne x = B sin(t)+ C cos(t) x = A cos(t + ) = A cos(t) cos - A sin(t) sin gdzie C = A cos() and B = A sin() = C cos(t) + B sin(t) Więc x = A cos(t + ) jest ogólnym rozwiązaniem!

7 Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanieWykres A cos( t ) A = amplituda drgań q =  t = 0 q = T = 2p T = 2/ A  = w t -    A

8 Ruch harmoniczny prosty cd.Wykres A cos(t + )   -   

9 Ruch harmoniczny prostyWykres A cos(t - /2)  = /2 A  -    = A sin(t)!

10 Prędkość i przyśpieszeniepołożenie: x(t) = A cos(t + ) prędkość: v(t) = -A sin(t + ) przyspieszenie: a(t) = -2A cos(t + ) xMAX = A vMAX = A aMAX = 2A k m x

11 Warunki początkowe Pozwalają wyznaczyć fazę początk.!x(t) = A cos(t + ) v(t) = -A sin(t + ) a(t) = -2A cos(t + ) Niech x(0) = 0 , i x rośnie, tak, że v(0) >0: x(0) = 0 = A cos()  = /2 lub -/2 v(0) > 0 = -A sin()  < 0 więc  = -/2    k m cos sin x

12 Warunki początkowe więc  = -/2!! x(t) = A cos(t - /2 )v(t) = -A sin(t - /2 ) a(t) = -2A cos(t - /2 ) x(t) = A sin(t) v(t) = A cos(t) a(t) = -2A sin(t) A x(t) t k x m   -A

13 Ruch harmoniczny prosty -parametryx = A cos(t + f) A = amplituda t + f = faza  = szybkość kątowa (częstość) frequency f = faza początkowa T –okres (czas trwania jednego drgania). f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T w = 2p f = 2p / T

14 Sprężyna -ky = ma = y k y = A cos(t + ) y = 0 F = -ky m gdzie

15 Częstość nie zależy od amplitudy!!! Sprężyna Rozwiązanie ogólne x = A cos(t + ) A = amplituda  = częstość  = faza początkowa Dla sprężyny Częstość nie zależy od amplitudy!!! Tak jest zawsze dla ruchu harm. Prostego! Drgania występują wokół położenia równowagowego w którym siła jest równa zeru!

16 Wahadło matematyczne

17 sin  i cos  dla małych  Szereg Taylora sin  i cos  wokół  = 0 : i Dla  << 1,

18  = 0 cos(t + ) Wahadło matematyczneMoment siły ciężkości wokół osi z:  = -mgd. d = Lsin   L dla małych  więc  = -mg L Ale  = II=mL2  L d m mg z gdzie Równanie różniczkowe dla RHP!  = 0 cos(t + )

19 huśtawka L2 < L1 , f2 > f1 lub T1 > T2 . L2 L1 f1 f2

20 Wahadło fizyczne Wahadło stanowi pręt zawieszony jednym końcem. Znajdźczęstość wahań przy odchyleniu wahadła od równowagi o mały kąt. z  x CM L mg

21 Wahadło - pręt Moment wokół osi (z) = -mgd = -mg(L/2)sinq  -mg(L/2)q dla małych q Wtedy Więc  = I z d I L/2  x CM d L gdzie mg

22 Okres Jaką długość powinno mieć wahadło matematyczne, aby miało tę samą częstość co wahadło fizyczne? LS LR (a) (b) (c)

23 Rozwiązanie LS LR S = P jeśli