1 Seis Sigma Programa de certificación de Black Belts ASQ8. Diseño de experimentos De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto P. Reyes / Octubre 2003

2 8A6. Diseño de Experimentos de Taguchi

3 Diseño de experimentos de TaguchiSugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son: a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad. b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible. c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

4 DISEÑO DE EXPERIMENTOSTaguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales. La herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.

5 Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó: La (b)C a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas. Ejemplo : L4 Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+).

6 Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La.Número de condiciones experimentales(renglones) lineas o pruebas. Número de factores o efectos maximo que se pueden analizar y número de columnas L4 L8 L12 L16 L32 L64 4 8 12 16 32 64 3 7 11 15 31 63 Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son : Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación. En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L8.

7 Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas. El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:

8 Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser- virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es: A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = = 1.59 A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = = 1.59 SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1)2 /8 = con 1 g.l Similarmente : SSB = (B2 - B1)sq/8= con 1g.l SSC = (C2 -C1)sq/8 = con 1g.l SSD = (D2 -D1)sq/8= con 1g.l SSE = (E2 - E1)sq/8= con 1g.l Sse1 = (F2 - F1)sq/8= con 1g.l, 1a. Columna de error F Sse2 = (G2 -G1)sq/8= con 1g.l 2a. Columna de error G Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene: Sse = SSF + SSG = = con 2g.l.

9 * significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51 La tabla ANOVA es : * significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51 ** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16 Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección. Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad).

10 En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es :Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = = Con , = 5 grados de libertad. Y (Ve) = (Sse) /5 = / 5 = Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis. Fc para el factor (A ) = y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factoresA y C Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son:

11 Diseños de experimentos - TaguchiEl promedio global es _ Y = ( )/ 10 = 0.33 Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado ¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = = EF C = C2 - Y= = Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es EF A + EF C + Y = = 0.219

12 Diseños de Taguchi Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples: Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación. Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario. Lecturas

13 Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son: Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .

14 SST = Yi2 - T2 / n Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / niLa suma de cuadrados del total es: SST = Yi2 - T2 / n donde  Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado. n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : SST = ………… /24 SST = con grados de libertad. El error secundario se calcula individualmente Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene: Sse2 = 15* * *18 - ( )2 / 3 = Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.

15 SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas,Condición SSe2 Total SSe2 = El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?. SSe1 = SSeF + SSeG SSe1 = con 2 grados de libertad La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce. SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas, SSA = , SSB = ……... Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total

16 La tabla ANOVA queda como:Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores. 2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOVA. Prueba de e1 vs e2 Fexp = e1/e2 = /2 / /16 Fexp para e1 = con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador. El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman = La tabla ANOVA queda como: Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte

17 Arreglos con Interacciones.Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites. Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante. Arreglos con Interacciones. Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor. Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales. Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.

18 Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8B C

19 A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6. B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6. C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6. El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.

20 Método Taguchi - Pasos Definir factores y niveles Factores de control (que se controlarán – arreglo interno) Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se controlan durante el experimento – arreglo externo) Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi Analizar el diseño de experimentos de Taguchi Predecir la respuesta con los niveles seleccionados

21 Método Taguchi – Crear DiseñoUsar Stat / DOE / Taguchi / Create Taguchi Design para crear el diseño ortogonal de Taguchi 2 level Design, Number of factors (2 a 7) - 3 Designs L8 Factors (opcional para cambiar nombres de factores y niveles; Assign columns of the array as specified below) Options Store designs in worksheet Ingresar al menos dos columnas de respuestas

22 Arreglo Externo Arreglo Interno A B C Resp1 Resp2

23 Método Taguchi – Analizar DiseñoUsar Stat / DOE / Taguchi / Analize Taguchi Design para analizar los resultados Response Data are in (al menos dos columnas de respuestas) En Graphs seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations, Interaction Plots (pasar con >>) Display Interactions in Matrix o Separate Graph En Tables seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations En Options seleccionar Mayor es mejor, Nominal es mejor o Menor es mejor para las relaciones Señal / Ruido, para que en estas gráficas S/N se seleccionen los niveles que maximicen la respuesta (para minimizar la variabilidad)

24 Response Table for Signal to Noise RatiosLarger is better Level A B C Delta Rank Response Table for Means Level A B C Delta Rank Response Table for Standard Deviations Delta

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26 Método Taguchi – Predicción de respuestasUsar Stat / DOE / Taguchi / Predict Taguchi Results para predecir las respuestas en base a niveles de factores seleccionados como óptimos Seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations En Terms pasar todos los términos con >> En Levels seleccionar Uncoded units (valores reales) o Coded units (1 y 2) y Select levels from a list (niveles usados OK, se mostrarán las respuestas estimadas por concepto

27 Diseños de experimentos con MezclasLas proporciones de los componentes debe sumar la unidad

28 8A8. Diseños de mezclas Los factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos

29 8A8. Diseños de mezclas Un diseño de estructura Simplex para q componentes cuya proporción puede tomar los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1 Xi = 0, 1/m, 2/m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1) Las mezclas posibles con los 3 componentes es:

30 Aumento de puntos Minitab augments (or adds points to) the design using the axial points shown below. Each added point is half way between a vertex and the center of the design. ( (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, (q+1)/2q ) By augmenting a design, you can get a better picture of what happens on the interior of the design, instead of just relying on points on the edges.

31 8A8. Diseños de mezclas X1 X2 X3 Rendimiento 0 0 1 0 0.333 0.667 X2

32 8A8. Diseños de mezclas Las ecuaciones de la restricción y del modelo lineal son:

33 8A8. Diseños de mezclas Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles, X1=polietileno, X2=Poliestireno, X3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicas X1 X2 X3 Rendimiento , 16 , 9.7, 11.8 , 10.0 , 16.4, 16.6 , 14.8, 16.1 , 12.4 X2

34 Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex lattice > DesignsGenerates settings for the components in an experiment with a simplex lattice design. You can · choose the degree of a simplex lattice design · add a center point or axial points to the interior of the design (added by default) · replicate the design Dialog box items Degree of lattice: Choose a degree for your design from the drop-down list. Augument the design with center points: Check to add a center point to the design. Augument the design with axial points: Check to add axial points to design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points: Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design enter the number of replicates for each point type. Corrida con Minitab

35 Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex centroid > DesignsGenerates settings for the components in an experiment with a simplex centroid design. You can · add axial points to the interior of the design (by default, Minitab adds ) · replicate the design Dialog box items Augment the design with axial points: Check to augment (or adds points to) the base design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design. Then, under Number, enter the number of replicates for each point type.

36 Corrida en Minitab para el ejemploStat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Lattice No of components 3 En Designs: Degree of Lattice 2 No augment design with center points or axial points No of replicates of the selected type of points 1 Vertex 2 2 Double Blend 3 En Options quitar Randomize runs OK

37 Corrida en Minitab para el ejemploA B C Elongación Corrida en Minitab para el ejemplo Introducir las respuestas de la elongación de la fibra en función de la mezcla de los 3 componentes X1, X2 y X3

38 Analizar resultados en MinitabStat > DOE > Mixture > Simplex Design Plot

39 Analizar resultados con MinitabStat > DOE > Mixture > Analyze mixture design Responses – Elongation OK En Graphs Normal Plot – ver adecuación del modelo

40 Regression for Mixtures: Elongación versus A, B, CEstimated Regression Coefficients for Elongación (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A * * B * * C * * SINERGIA A*B ANTAGONICO A*C B*C S = PRESS = R-Sq = 95.14% R-Sq(pred) = 86.43% R-Sq(adj) = 92.43% Analysis of Variance for Elongación (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression Linear Quadratic Residual Error Total

41 8A8. Análisis del diseño SimplexMinitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C Est. Regression Coefficients for Resp (component proportions) Y=11.7X1+9.4X X X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3 Term Coef SE Coef T P VIF A * * B * * C * * A*B A*C B*C S = PRESS = R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%

42 8A8. Análisis del diseño SimplexComo b3 > b1 > b2 se concluye que el componente 3 produce la mayor elongación Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla

43 Análisis con Minitab – Trace PlotStat > DOE > Mixture > Response Trace Plot A response trace plot (also called a component effects plot) shows the effect of each component on the response. Several response traces, which are a series of predictions from the fitted model, are plotted along a component direction. The trace curves show the effect of changing the corresponding component along an imaginary line (direction) connecting the reference blend to the vertex. Each component in the mixture has a corresponding trace direction. The points along a trace direction of a component are connected thereby producing as many curves as there are components in the mixture. Response trace plots are especially useful when there are more than three components in the mixture and the complete response surface cannot be visualized on a contour or surface plot. You can use the response trace plot to identify the most influential components and then use them for a contour or surface plot.

44 Análisis con Minitab – Trace PlotStat > DOE > Mixture > Response Trace Plot Response -- Elongation

45 Análisis con Minitab – Gráfica de contornosStat > DOE > Mixture > Contour plot Setup OK

46 Análisis con Minitab – Contornos restringidosStat > DOE > Mixture > Overlaid Contour plot Response --Elongation Contours Low Limit 12 High Limit 14 OK

47 Análisis con Minitab - OptimizaciónStat > DOE > Mixture > Response optimizer Indicar en Response – Elongation En Setup indicar los valores de la respuesta óptima: Lower 10 Target 15 Upper 20 En Options indicar los valores iniciales de las variables A = 0.3 B = 0.3 C = La suma debe dar la Unidad OK

48 Salida del Optimizador Minitab

49 Ejemplo con Diseño centroideA B C Ymillas/galón Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Centroid 3 Components Augment Axial Points No Replicates: 1 Vertex 2 2 Double Blend 1 0 Center points 2 -1 Axial point 1 OK OK

50 Simplex Design Plot

51 Ecuación de regresión Estimated Regression Coefficients for Ymillas/ga (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A * * B * * C * * A*B A*C B*C S = PRESS = R-Sq = 70.91% R-Sq(pred) = 11.44% R-Sq(adj) = 52.74%

52 Response Surface plot

53 Gráfica de contornos

54 Salida del optimizador

55 8B1. Diseños de superficie de respuesta

56 8B1. Superficie de respuestaUn modelo de primer orden es el siguiente: Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos

57 9B1. Trayectoria de ascenso rápidoOrig.+8 8 3.36 75 173 70.4 Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6 Orig.+10 10 4.20 85 177 Orig.+11 11 4.62 90 179 76.2 Orig.+12 12 5.04 95 181 75.1 80.3

58 8B1. Trayectoria de ascenso rápidoRespuesta Pasos

59 8B2. Superficie de respuestaSi en la prueba de ANOVA el modelo presenta curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es:

60 8B2. Diseño central compuestoPuntos axiales en 1.414 Réplicas en (0,0) para el error puro

61 8B2. Diseño central compuestodel Proceso codificadas Rendimiento Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2 1 80 170 -1 76.5 2 180 77.0 3 90 78.0 4 79.5 5 85 175 79.9 6 80.3 7 80.0 8 9 79.7 79.8 10 11 12 13 92.07 77.93 182.07 167.93 1.414 -1.414 78.4 75.6 78.5

62 8B2. Diseño central compuestoEstimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T P Constant A Si P<0.05 son signif. B A*A B*B A*B Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression Linear Square

63 8B2. Diseño central compuestoLa ecuación de regresión de la superficie de respuesta es: Y = ª B –1.376 A*A – B*B AB Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = y X2 = Con una respuesta estimada Yest = 80.21

64 8B2. Diseño central compuesto

65 8B2. Diseño central compuestoLocalización del punto óptimo