1 Semejanza de triángulos

2 ¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?

3 ¿Son suficientes los datos que tenemos?La altura de Sara es 1,5 metros

4 El problema se puede resolver usando Semejanza de TriángulosComencemos por entender qué es la Semejanza de Triángulos

5 Definición: Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son correspondientemente congruentes. A B C M N P mM = 70 mN = 65 mP = 45 mA = 70 mB = 65 mC = 45  ABC  MNP

6 Entendiendo el conceptoCuando dos triángulos son semejantes, tienen exactamente la misma forma, pero diferente tamaño.

7 NOTA IMPORTANTE: Es importante utilizar adecuadamente la notación de semejanza para dos triángulos. Al decir que  ABC  MNP, implícitamente se está diciendo que el ángulo A es congruente con el ángulo M. Asimismo, el ángulo B lo es con N, y el ángulo C es congruente con el ángulo P.

8 ¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de triángulos a resolver nuestro problema inicial?Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen dos triángulos semejantes. Veamos:

9 En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes. A la razón de uno de los lados con su lado homólogo se le llama razón de semejanza k. En este caso k = 1/2

10 Lo interesante es que esta proporción se mantiene también para las alturas y las medianas, siempre correspondientes a los lados homólogos de los triángulos semejantes. La razón de los perímetros de ambos triángulos también es igual a la razón de semejanza k. Finalmente, la razón de las áreas de los triángulos semejantes, es igual a la razón de semejanza elevada al cuadrado; es decir a k2.

11 Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3 postulados o criterios de semejanza.Veamos:

12 Criterios de semejanzaB A Primer criterio: AA Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos del otro. A’ B’ C’

13 Criterios de semejanzaSegundo criterio: LLL Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de ellos son proporcionales a los lados homólogos del otro. C B A A’ B’ C’

14 Criterios de semejanzaB A Tercer criterio: LAL Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno de ellos son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos comprendidos entre dichos lados son congruentes. A’ B’ C’

15 ¿Podemos ahora resolver el problema?La altura de Sara es 1,5 metros

16 FIN