1 SERIES

2 SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTESUna serie numérica es la adición de los términos de una sucesión numérica 𝒕 𝟏 ; 𝒕 𝟐 ; 𝒕 𝟑 ; 𝒕 𝟒 Sucesión: ; ; ; Valor de la serie Serie : = 36 SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES A. Serie Aritmética La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética Sucesión aritmética: ; ; ; ; Serie aritmética :

3 Ejemplo 1: Resolución: Calcule el valor de la siguiente serie:𝑆= Resolución: Podríamos efectuar la adición de manera directa, pero lo que vamos a hacer es deducir una expresión general (fórmula) que nos permita calcular el valor de una serie aritmética cualquiera. 7 términos Como : 𝑆= Entonces : 𝑆= 2𝑆= 2𝑆= 26 𝑥7 𝑆= 26 𝑥7 2 =91 Si la serie es aritmética, la suma S se obtiene multiplicando la semisuma del primer y último término por el número de términos (n) ; es decir: Se observa que: primer término Último término 𝑆= 𝑡 1 + 𝑡 𝑛 2 𝑥𝑛 𝑆= 26 𝑥7 2 = 𝑥7 Número de términos

4 Ejemplo 2: Resolución: 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕 𝟒 … 𝒕 𝟐𝟎 𝑡 𝑛 = 𝑡 1 + 𝑛−1 𝑟Hallar el valor de S: 𝑆= …(20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠) Resolución: Se observa que ahora tenemos el primer término y el número de términos, pero nos falta el último término Cálculo del último término 𝒕 𝟏 𝒕 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕 𝟒 … 𝒕 𝟐𝟎 𝑡 𝑛 = 𝑡 1 + 𝑛−1 𝑟 𝑡 20 =7+ 20−1 3 𝑡 20 =64 7, 10 , 13, 16, … 64 Cálculo del valor de la serie: 𝑆= 𝑥20=710 𝑆= 𝑡 1 + 𝑡 𝑛 2 𝑥𝑛

5 Sucesión geométrica infinita: 8; 4; 2; 1; 1/2; … B. Serie Geométrica Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica. La serie geométrica puede ser infinita o finita según el número de términos que posea. Sucesión geométrica infinita: ; 4; 2; 1; 1/2; … Serie geométrica infinita : /2 + … Sucesión geométrica finita: ; 14; 28; 56; … (100 términos) Serie geométrica finita : … (100 términos) B.1. Serie Geométrica decreciente infinita Ejemplo 1: Halle el valor de la siguiente serie: 𝑆= …

6 Resolución: 𝑆=12 + 4 + 4 3 + 4 9 + … 1 3 𝑆=4 + 4 3 + 4 9 + 4 27 + …De la serie: 𝑆= … 𝑥 𝑥 𝑥 1 3 Se observa que se trata de una serie geométrica decreciente de infinitos términos de razón: 𝑞= 1 3 Multiplicando por a toda la serie tenemos: En general : 𝑆= … Dada la serie geométrica decreciente de infinitos términos: 𝑆= 𝑡 1 + 𝑡 2 + 𝑡 3 + … 1 3 𝑆= … 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑆− 1 3 𝑆=12 𝑥𝑞 𝑥𝑞 Su suma se calcula así: 𝑆= 𝑡 1 1−𝑞 Donde 0< 𝑞 <1 1− 1 3 𝑆=12 𝑆= 12 1− 1 3 𝑆=18

7 Ejemplo 2: Halle el valor de: 𝑆=16+8+4+2+ … Resolución:Se observa que: 𝑆= … 𝑞= 1 2 Además: = 1 2 <1 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 Luego: 𝑆= 𝑡 1 1−𝑞 = 16 1− 1 2 =32 𝑆=32

8 Ejemplo 3: Calcular la suma de los infinitos términos dados: … Resolución: 𝑆= … De la serie dada: 𝑆= … 𝑥 𝑥 𝑆= − = 𝑆= 9 48

9 B.2. Serie Geométrica finitaEjemplo 1: Hallar el valor de: 𝑆= Resolución: Se observa: 𝑆= (7 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠) 𝑥3 𝑥 𝑥3 En general : Dada la serie geométrica decreciente de infinitos términos: 𝑆= 𝑡 1 + 𝑡 2 + 𝑡 3 + …+ 𝑡 𝑛 𝑆=2+2𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 3 6 3𝑆=2𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 3 7 Restando: 𝑆−𝑆=2𝑥 3 7 −2 (3−1)𝑆=2( 3 7 −1) 𝑥𝑞 𝑥𝑞 𝑆= 2( 3 7 −1) (3−1) La suma se calcula así: 𝑆= 𝑡 1 ( 𝑞 𝑛 −1) (𝑞−1) Donde 𝑞≠1;𝑞≠0 𝑆=2186

10 Se observa que la serie consta de 11 términos: Ejemplo 2: Hallar el valor de: 𝑆= …+1024 Resolución: Se observa que la serie consta de 11 términos: 𝑆= …+ 2 10 𝑥 𝑥 𝑥2 Luego: 𝑆= 𝑡 1 ( 𝑞 𝑛 −1) (𝑞−1) = 1 ( 2 11 −1) (2−1) = 2 11 −1 𝑆=2047

11 SERIES Y SUMAS NOTABLESSuma de los “n” primeros números naturales …+𝑛= 𝑛(𝑛+1) 2 B. Suma de los “n” primeros números impares …+(2𝑛−1)= 𝑛 2 C. Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos …+ 𝑛 2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 D. Suma de los “n” primeros productos consecutivos 1𝑥2+2𝑥3+3𝑥4+…+𝑛 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 3 1𝑥2𝑥3+2𝑥3𝑥4+3𝑥4𝑥5+…+𝑛 𝑛+1 𝑛+2 = 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3) 4 1𝑥2𝑥3𝑥4+2𝑥3𝑥4𝑥5+3𝑥4𝑥5𝑥6+…+𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+3 = 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)(𝑛+4) 5 E. Suma de los “n” primeros cubos perfectos …+ 𝑛 3 = 𝑛(𝑛+1) 2 2 F. Suma de los “n” primeros naturales elevados a la cuarta …+ 𝑛 4 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3 𝑛 2 +3𝑛−1) 6

12 SUMATORIAS Aplicaciones:Sea la serie: 𝑆= 𝑡 1 + 𝑡 2 + 𝑡 3 + 𝑡 4 +…+ 𝑡 𝑛 Si queremos representar la serie numérica de forma abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria 𝚺 así: 𝑡 1 + 𝑡 2 + 𝑡 3 + 𝑡 4 +…+ 𝑡 𝑛 = 𝑘=1 𝑛 𝑡 𝑘 Se lee: Sumatoria de los términos de la forma 𝑡 𝑘 desde 𝑘=1 hasta 𝑘=𝑛 Aplicaciones: 𝑛= 𝑛 = …+2(20) 𝑛=3 6 8𝑛+1 = (8 6 +1) 𝑘=1 ∞ 𝑘 2 = …

13 Propiedades Ejemplo: Ejemplo: Resolución: Resolución:𝒌=𝒂 𝒏 𝒕 𝒌 = 𝒕 𝒂 + 𝒕 𝒂+𝟏 + 𝒕 𝒂+𝟐 +… 𝒕 𝒏 # 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔= 𝒏−𝒂 +𝟏 𝒌=𝒂 𝒏 𝒄= 𝒏−𝒂+𝟏 𝒄 ;𝒄 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuántos sumandos tiene la serie desarrollada de 𝑛=3 9 𝑛 2 −1 ? Hallar el valor de: 𝑘= 𝑘=5 20 3 Resolución: Resolución: 𝑘=1 7 8 = 7−1 +1 𝑥8=7𝑥8=56 𝑘=5 20 3= 20−5+1 𝑥3=48 No necesitamos desarrollar la sumatoria, pues: # 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠: 9−3 +1=7 𝑘= 𝑘= =56+48=104

14 Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: 𝒌=𝟎 𝒏 𝒕 𝒌 = 𝒌=𝟏 𝒏 𝒕 𝒌 − 𝒌=𝟏 𝒂−𝟏 𝒕 𝒌𝒌=𝟎 𝒏 𝒕 𝒌 = 𝒌=𝟏 𝒏 𝒕 𝒌 − 𝒌=𝟏 𝒂−𝟏 𝒕 𝒌 Ejemplo: 𝑘= 𝑘 3 = 𝑘= 𝑘 3 − 𝑘=1 6 𝑘 3 Ejemplo: 𝑘=6 200 (8 𝑘+3 ) =8𝑥 𝑘=6 200 (𝑘+3) 𝒌=𝒎 𝒏 𝒂 𝒕 𝒌 = 𝒂𝒙 𝒌=𝒎 𝒏 𝒕 𝒌 𝒌=𝒎 𝒏 𝒂 𝒕 𝒌 +𝒃 𝒑 𝒌 = 𝒂𝒙 𝒌=𝒎 𝒏 𝒕 𝒌 +𝒃𝒙 𝒌=𝒎 𝒏 𝒑 𝒌 Ejemplo: 𝑘=3 100 (7 𝑘 2 −8 𝑘 3 ) =7 𝑘= 𝑘 2 −8 𝑘= 𝑘 3

15 SUMATORIAS NOTABLES 𝑘=1 𝑛 𝑘 =1+2+3+…+𝑛= 𝑛 𝑛+1 2𝑘=1 𝑛 𝑘 =1+2+3+…+𝑛= 𝑛 𝑛+1 2 𝑘=1 𝑛 (2𝑘−1) = …+(2𝑛−1) 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝑛 2 𝑘=1 𝑛 𝑘 2 = …+ 𝑛 2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 = …+ 𝑛 3 = 𝑛(𝑛+1) 2 2 𝑘=1 𝑛 𝑘 𝑘+1 = 1𝑥2+2𝑥3+3𝑥4+…+𝑛 𝑛+1 = 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) 3

16 Problema N° 1 Resolución: 𝑡 𝑛 =𝑎 𝑛 2 +𝑏𝑛+𝑐 𝑡 𝑛 =2 𝑛 2 +2𝑛+6Hallar el valor de: 𝑆= …(20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠) Resolución: Examinado las razones: 6 10, 18, 30, 46, … 4 4 Entonces: 𝑆= … 20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝑛= 𝑛 2 +2𝑛+6 𝑡 𝑛 =𝑎 𝑛 2 +𝑏𝑛+𝑐 4 2 4− 4 2 6 𝑆=2 𝑛=1 20 𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛=1 20 𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 + 𝑛=1 20 6 =2 20𝑥21𝑥 𝑥 𝑥20 𝑡 𝑛 =2 𝑛 2 +2𝑛+6 𝑆=6280

17 Problema N° 2 Calcule el valor de: 𝑆=3𝑥20+6𝑥19+9𝑥18+…(20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠)Resolución: Se observa que: 𝟏° 𝟐° 𝟑° 𝒏° 3𝑥 𝑥 𝑥18 𝑡 𝑛 − − (3)(21−3) 3(𝑛)(21−𝑛) Luego: 𝑆= 𝑛=1 20 (3𝑛)(21−𝑛) = 𝑛=1 20 (63𝑛−3 𝑛 2 ) =63 𝑛=1 20 𝑛 −3 𝑛=1 20 𝑛 2 𝑆=63 20𝑥21 2 −3 20𝑥21𝑥41 6 𝑆=4620

18 Problema N° 3 Resolución: Calcule: 𝑀= 𝑖=1 𝑛 𝑘=1 𝑖 𝑎=1 𝑘 (𝑎) Luego:𝑀= 𝑖=1 𝑛 𝑘=1 𝑖 𝑎=1 𝑘 (𝑎) Resolución: Luego: Sabemos que: 𝑀= 𝑖=1 𝑛 𝑘=1 𝑖 𝑎=1 𝑘 (𝑎) = 𝑖=1 𝑛 𝑖(𝑖+1)(𝑖+2) 6 𝑎=1 𝑘 (𝑎) =1+2+3+…+𝑘= 𝑘(𝑘+1) 2 Entonces: 𝑀= 1 6 𝑖=1 𝑛 𝑖(𝑖+1)(𝑖+2) 𝑘=1 𝑖 𝑎=1 𝑘 (𝑎) = 𝑘=1 𝑖 𝑘(𝑘+1) 2 = 1 2 𝑘=1 𝑖 𝑘(𝑘+1) 𝑀= 𝑥2𝑥3+2𝑥3𝑥4+3𝑥4𝑥5+…+𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) = 𝑥2+2𝑥3+3𝑥4+…+𝑖(𝑖+1) 𝑀= 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3) 4 = 𝑖(𝑖+1)(𝑖+2) 3 = 𝑖(𝑖+1)(𝑖+2) 6 𝑀= 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3) 24