1 Sesión 12.1 Álgebra de matrices

2 Información del curso Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir.Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

3 Habilidades Determina el orden de una matriz, la igualdad entre dos matrices y la matriz identidad. Suma, multiplica por un escalar y multiplica matrices. Determina si dos matrices si dos matrices son inversas entre sí y determina la inversa de una matriz de orden 2x2 y 3x3. Determina cuando una matriz tiene inversa. Determina la determinante de una matriz de 2x2 y 3x3.

4 Consideraciones previas1. La compañía Ruiz invierte un total de $ Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa. x y 2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies2.

5 Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminadoClasificación de los SEL por los tipos de respuesta 3. Resuelva los siguientes sistemas x y 3 -2 x y x y Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado

6 Necesidad de la modelación usando SELSe dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio. Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio. Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento ideal.

7 Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números n columnasm filas de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m  n. El orden de la matriz es m  n. Si m = n, la matriz es cuadrada.

8 Ejemplos a) La matriz tiene orden 2 x 3. b) La matrizc) La matriz tiene orden 3 x 3.

9 Notación abreviada para la matrizTambién se usa la notación abreviada A = [aij] para esta matriz. El elemento aij está en la fila i y la columna j.

10 Ejemplo Determine la matriz A, si:

11 Suma y resta de matricesSean A = [aij] y B = [bij], matrices de orden m  n La suma A + B es la matriz de m  n. A + B = [aij + bij] 2. La resta A - B es la matriz de m  n. A - B = [aij - bij]

12 kA = [kaij] Multiplicación de una matriz por un escalar y la matriz 0.El producto de un número real k y la matriz A = [aij] de orden m  n, es la matriz de orden m  n kA = [kaij] La matriz kA = [kaij] es un múltiplo escalar de A. La matriz 0 = [0] de orden m  n, contiene únicamente ceros, es la matriz cero. Si A = [aij], entonces: A + 0 = A

13 Ejemplo Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de 2  2, con aij = 3i – j y bij = i2 + j2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2 Determine A y B. Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0]. ¿Cuál es el orden de [0]? Determine 3A - 2B.

14 Multiplicación de matricesSea A = [aij] una matriz de m  r y B = [bij] una matriz de r  n El producto AB = [cij] es la matriz m  n, donde j i

15 Multiplicación de matricesLa manera de hallar el producto AB con A y B es: ¿Existe el producto BA?

16 Matriz identidad La matriz In de n  n, con unos en la diagonal principal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n  n. Diagonal principal Ejemplos,

17 Inversa de una matriz cuadradaSea A = [aij] una matriz de orden n  n. Si existe una y matriz B tal que entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A-1 (se lee “A inversa”)

18 Verificación de una matriz inversa1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra 2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.

19 Inversa de una matriz 2  2 Si ad – bc ≠ 0, entoncesEl número ad – bc es el determinante de la matriz 2 x 2 se expresa Si entonces

20 Determinante de una matrizSea A = [aij] una matriz de orden n  n (n > 2) El determinante de A, expresado como det A o |A| es la suma de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multiplicada por sus respectivos cofactores Aij.

21 Determinante de una matrizPresentemos una matriz A =[aij] de 3  3. Se llama cofactor de aij, en este caso de a21 M21 Se llama menor o determinante menor de aij, en este caso de a21

22 Menores y cofactores Aij=(-1)i+jMijLa manera de hallar los menores Mij es la siguiente: i j En general, los cofactores Aij se determinan así: i j Aij=(-1)i+jMij i j

23 Existencia de la inversa de una matrizUna matriz A de n  n, tiene una inversa sí y sólo sí det A ≠ 0. Ejemplo Determine si la matriz tiene una inversa. Si es Así, encuentre su matriz inversa. a) b)

24 Propiedades de matricesSean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos: Propiedad conmutativa Suma: A + B = B + A Mult.: en general no se cumple Propiedad de la identidad Suma: A + 0 = A Mult.: AI = IA = A Propiedad distributiva A(B ± C) = AB ± AC (A ± B)C = AC ± BC 4. Propiedad asociativa Suma: (A + B) + C = A + (B + C) Mult.: (AB)C = A(BC) 5. Propiedad del inverso Suma: A + (-A) = 0 Mult.: AA-1 = A-1A = I

25 Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38, 40, 64 y 66 de las páginas 590 al 593. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.