1 SIECI PETRI’EGO W.Muszyński WM 2012 1

2 Koncepcja sieci Petri WM 2012 2 Projektowanie struktur sterowania dla przebiegów, których równoległość podlega pewnym ograniczeniom (np. zasobowym) stwarza o wiele więcej trudności, niż w przypadku przebiegów sekwencyjnych. Przebiegi współbieżne zmieniają swój stan niezależnie od siebie co powoduje utracenie możliwości przeglądu sytuacji całości zachodzących zjawisk. Sieci Petri są stosunkowo łatwe w weryfikacji i poglądowe, wyróżniają się możliwościami zastosowania w bardzo wielu dziedzinach: od zagadnień programowania, przetwarzania informacji, sterowania i zarządzania operacjami, systemami technicznymi, do zastosowań w zakresie teorii organizacji i teorii np prawa (spójność przepisów, bezkonfliktowość ustaw itp). Jest koncepcją posiadającą dużą podbudowę matematyczną, zarazem stosunkowo poglądową jeśli chodzi o reprezentację i interpretacje graficzne. Istnieją narzędzia informatyczne do modelownia, symulacji i analizy własności.

3 Co to są sieci Petri ? Sieci warunków i zdarzeń Każdy warunek jest reprezentowany przez okrąg. Każde zdarzenie jest reprezentowane przez kwadrat. Spełnienie jakiegoś warunku oznacza się umieszczając kropkę (znacznik) w odpowiadającym mu okręgu. Zbiór warunków spełnionych w pewnej konfiguracji systemu nazywamy przypadkiem. e Spełnione są warunki wejściowe i wystąpiło zdarzenie „e” e Zaszło zdarzenie „e” Spełnione są warunki wyjściowe 3 WM 2012

4 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku - jako sieć warunków i zdarzeń 4 WM 2012

5 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 5 WM 2012

6 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 6 WM 2012

7 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 7 WM 2012

8 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 8 WM 2012

9 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 9 WM 2012

10 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 10 WM 2012

11 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 11 WM 2012

12 Przykładowa sieć Petri Wiosna Początek lata Lato Początek jesieni Jesień Początek zimy Zima lub wiosna Nie jesień Początek wiosny Zima Cztery pory roku 12 WM 2012

13 Zastosowania Sieci Petriego WM 2012 13 Narzędzie do opisu przepływów pracy (workflows), materiałów, zasobów… Modelowanie systemów wytwarzania, produkcji, planowania… Sterowanie procesami współbieżnymi Sterowanie sekwencyjne (sterowniki programowalne PLC) Protokoły komunikacji i sieci Oprogramowanie, projekt, specyfikacja, symulacja, walidacja i implementacja systemów sterowania i zarządzania. i wiele innych obszarów…

14 Sieci Petri WM 2012 14 Dla logistycznych systemów sterowania i zarządzania to: narzędzie graficzne narzędzie matematyczne narzędzie analizy fomalnej i symulacji narzędzie optymalizacji

15 Sieci Petri WM 2012 15

16 Sieć Petri typu P/T WM 2012 16 Sieć w postaci grafu o dwu rodzajach wierzchołków zwanych miejscami i przejściami Wierzchołki są połączone skierowanymi łukami Łukami przepływają znaczniki z miejsc do przejść oraz z przejść do miejsc Przepływ znaczników w sieci obrazuje zmiany stanów systemu

17 Symbole WM 2012 17 miejsce przejście znacznik pipi tjtj (symbol umieszczany w miejscach)

18 Koncepcja podstawowa WM 2012 18 Aby zaszło jakieś zdarzenie muszą być spełnione pewne warunki wejściowe W wyniku zajścia zdarzenia powstają pewne warunki wyjściowe warunki wejściowe warunki wyjściowe zdarzenie

19 Koncepcja podstawowa WM 2012 19 Warunki wejściowe są spełnione Zdarzenie może zajść W wyniku zajścia zdarzenia powstają pewne warunki wyjściowe warunki wejściowe warunki wyjściowe zdarzenie

20 Koncepcja podstawowa WM 2012 20 Spełnienie warunków wejściowych Zajście zdarzenia W wyniku zajścia zdarzenia powstają pewne warunki wyjściowe warunki wejściowe warunki wyjściowe zdarzenie

21 Interpretacja symboli WM 2012 21 Miejsca to: – warunki, zasoby, … Przejścia to: – zdarzenia, akcje, operacje, … Znaczniki to: – dostępne zasoby, spełnienie warunku, … Łuki – łączą miejsca i przejścia

22 Sieci Petri WM 2012 22 PN= P: zbiór skończony miejsc {p 1, p 2,…, p n } T: zbiór skończony przejść {t 1, t 2,…, t m } I: PxT―>{0,1} funkcja wejściowa (łuki wejść) O:TxP―>{0,1} funkcja wyjściowa (łuki wyjść)

23 Sieci Petri WM 2012 23 PN= gdzie: P = {p 0, p 1, p 2 } T = {t 0, t 1 } I = {(p 0, t 0 ), (p 1, t 1 )} O = {(t 0, p 1 ), (t 1, p 2 )} p0p0 p1p1 p2p2 t1t1 t0t0

24 Markowana Sieć Petri WM 2012 24 PN = M 0 markowanie początkowe M 0 : P ―> NN zbiór liczb naturalnych M 0 = (0, 1, 0) markowanie początkowe dla sieci powyżej p0p0 p1p1 p2p2 t1t1 t0t0

25 Przygotowanie do odpalenia WM 2012 25 Wszystkie miejsca wejściowe przejść mają wystarczającą liczbę znaczników, które są warunkiem odpalenia. We wszystkich miejscach wyjściowych przejścia jest miejsce na znaczniki, które pojawią się w wyniku odpalenia przejścia. p0p0 p1p1 p2p2 t1t1 t0t0

26 Reguła odpalania przejścia WM 2012 26 W wyniku odpalenia przejścia, z miejsc wejściowych zabierane są znaczniki (tyle ile wynoszą odpowiednie wagi łuku), natomiast w miejscach wyjściowych pojawiają się znaczniki (w takiej ilości jaka wynika z wagi odpowiednich łuków wyjściowych) p2p2 p4p4 t1t1 p0p0 p1p1 p3p3 t0t0 2 p2p2 p4p4 t1t1 p0p0 p1p1 p3p3 t0t0 2 przed odpaleniempo odpaleniu

27 Podstawowe konstrukcje WM 2012 27 zależności (akcji, działań, … od warunków, zasobów, …) sekwencje (działań, zdarzeń, operacji …) sytuacje konfliktów (konflikty decyzji, akcji, wyborów, …) współbieżność (zdarzeń, działań, procesów, …) cykle synchronizacja

28 Podstawowe konstrukcje WM 2012 28 p0p0 p1p1 p2p2 t1t1 zależności p0p0 p1p1 p2p2 t1t1 warunki wejściowe spełnione przejście przygotowane do odpalenia przejście odpalone warunki wyjściowe zajście warunków wejściowych umożliwia zajście zdarzenia opisanego przejściem i zaistnienie warunków wyjściowych

29 Podstawowe konstrukcje WM 2012 29 sekwencje działań p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 t1t1 t0t0 t2t2 t3t3 t 1 t 2 t 3 t 4

30 Podstawowe konstrukcje WM 2012 30 konflikt tylko jedno ze zdarzeń t 0 lub t 1 może zajść, tylko jedno z dwu przejść może się zapalić p2p2 p4p4 t1t1 p0p0 p1p1 p3p3 t0t0

31 Podstawowe konstrukcje WM 2012 31 współbieżność p1p1 p2p2 p3p3 t2t2 t1t1 p7p7 p5p5 p6p6 t4t4 t3t3 p0p0 p4p4 t0t0 t5t5

32 Podstawowe konstrukcje WM 2012 32 cykliczność p1p1 p2p2 p3p3 p1p1 p2p2 p3p3 p1p1 p2p2 p3p3 p1p1 p2p2 p3p3 t1t1 t2t2 t3t3 t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 t3t3 t3t3 t3t3

33 Jak zaprojektować sterownik dla świateł WM 2012 33

34 Przykład - sterownik świateł WM 2012 34 samochody piesi

35 Przykład - sterownik świateł WM 2012 35 samochody piesi przycisk dla pieszych

36 Przykład - sterownik świateł WM 2012 36 samochody piesi przycisk dla pieszych

37 Przykład - sterownik świateł WM 2012 37 samochody piesi przycisk dla pieszych

38 Przykład - sterownik świateł WM 2012 38 samochody piesi przycisk dla pieszych

39 Przykład - sterownik świateł WM 2012 39 samochody piesi przycisk dla pieszych

40 Przykład - sterownik świateł WM 2012 40 samochody piesi przycisk dla pieszych

41 Przykład - sterownik świateł WM 2012 41

42 Przykład - sterownik świateł WM 2012 42 samochody piesi przycisk dla pieszych

43 Przykład - sterownik świateł WM 2012 43 samochody piesi przycisk dla pieszych

44 Przykładowa sieć modelująca prosty ESP WM 2012 44 Sieć modelująca ESP (Elastyczny System Produkcyjny) Roboty wykonują operacje produkcyjne obsługując maszyny znajdujące się w ich strefach pracy. Istnieje wspólna strefa (bufor o pewnej pojemności) w której może jednocześnie przebywać tylko jeden robot ( z uwagi na możliwość kolizji). p 1 (p 4 ) robot R 1 (R 2 ) pracuje poza strefą wspólną p 2 (p 5 ) robot R 1 (R 2 ) żąda dostępu do strefy wspólnej p 3 (p 6 ) robot R 1 (R 2 ) w strefie wspólnej p 7 strefa wspólna wolna p 8 strefa wspólna zajęta przez R 1 p 9 strefa wspólna zajęta przez R 2 strefa wspólna strefa pracy R 2 strefa pracy R 1 strefa pracy R 2 R1R1 R2R2 bufor pełny bufor pusty R 2 opuszcza buforR 1 opuszcza bufor Sieć Petri modelująca ESP

45 CZASOWE SIECI PETRI WM 201245

46 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 46 Każdemu przejściu jest przypisany pewien czas palenia, który oznacza, że miejsce odpalone pobiera znaczniki z odpowiednich miejsc wejściowych i po upływie czasu  (t) przekazuje do miejsc wyjściowych. Każdemu miejscu jest przypisany pewien czas opóźnienia  (p), po którym znaczniki są dostępne w miejscu do którego napływają w wyniku odpalenia. PN =  P  R +    R +

47 Determistyczna czasowa sieć Petri WM 2012 47 transportery R1R2 M2 M1 produkty gotowe części palety p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1

48 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 48 MiejsceInterpretacjaCzas operacji p1dostępne części i palety0 p2M1 obróbka10 p3cześć dostępna do obróbki na M20 p4M2 obróbka16 p5M1 wolna0 p6miejsca na transporterze wolne0 p7M2 wolna0 p8R1 wolny0 p9R2 wolny0 PrzejścieInterpretacjaCzas operacji t1t1 R1 ładuje M11 t2t2 R1 z M1 na transp.1 t3t3 R2 ładuje M21 t4t4 R2 rozład. M21 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 M 0 =(300012111) markowanie początkowe

49 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 49 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

50 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 50 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

51 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 51 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

52 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 52 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

53 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 53 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

54 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 54 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

55 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 55 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

56 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 56 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

57 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 57 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

58 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 58 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

59 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 59 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

60 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 60 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

61 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 61 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

62 Deterministyczna czasowa sieć Petri WM 2012 62 p7p7 p6p6 p5p5 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p9p9 p8p8 t4t4 t3t3 t2t2 t1t1 części i palety M1 wolne M1 obróbka miejsca na transporterze R1 wolny R1 ładuje M1R1 rozł. M1 część gotowa R2 ładuje M2 M2 obróbkaR2 rozł. M2 R2 wolny M2 wolna

63 Cykle produkcji WM 2012 63 PętlaCzas realizacjiSuma znaczników Czas cyklu t1p2t2p3t3p4t4p1t1t1p2t2p3t3p4t4p1t1 30310 t 1 p 2 t 2 p 5 (lub p 8 )t 1 121 t2p3t3p6t2t2p3t3p6t2 221 t 3 p 4 t 4 p 7 (lub p 9 )t 3 181 Minimalny cykl realizacji produktu wynosi 18 Cykl Produkcji = max i (D i /N i ) gdzie D i czas łączny przebywania znaczników w miejscach i przejściach i-tej pętli N i suma znaczników w miejscach pętli

64 Stany (markowania osiągalne) dla analizowanej sieci WM 2012 64 s1 = (300012111) s2 = (210002101) s3 = (211011111) s4 = (111001101) s5 = (102010111) s6 = (012000101) s7 = (011101000) s8 = (002110010) s9 = (101111010) s10 = (110102000) s11 = (200112010)

65 Diagram stanów dla sieci WM 2012 65 s11 s1 s2 s3 s4 s9 s10 s5 s6 s7 s8 t1t1 t2t2 t4t4 t4t4 t4t4 t4t4 t1t1 t1t1 t1t1 t3t3 t2t2 t3t3 t2t2 t3t3 t3t3

66 Macierz incydencji WM 2012 66

67 Analiza zachowania sieci sterującej WM 2012 67 Założono 3 palety w systemie, każda po 2 części Najkrótszy czas cyklu produkcji wynosi 18 Sieć ma potrzebne własności strukturalne Może być wykorzystana jako sterownik procesu produkcji Sterowanie odbywa się asynchronicznie Zwiększenie liczby palet i części w systemie nie skraca cyklu produkcji

68 STOCHASTYCZNE SIECI PETRI WM 201268

69 Przykład stochastycznej sieci Petri WM 2012 69 M2 ładowanie praca rozładownie p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p6p6 zadania w systemie ładowanie awaria M1 reperowana M1 zreperowana M1 pracuje M1 wolna detal gotowy dostępne 2 miejsca na transporterze rozładowanie M1 t1t1 t2t2 t3t3 t5t5 t4t4 miejsce opis p1p1 detale i palety dostępne P2P2 M1 obrabia detal p3p3 detal gotów do obróbki M2 p4p4 M1 reperowana p5p5 M1 wolna p6p6 transporter dostępny miejsceopisintensywność palenia t1t1 załadunek R1 i M1   t2t2 obróbka i rozładunek M1 przez R1   t3t3 załadunek, obróbka i rozładunek M2 przez R2   t4t4 M1 awaria   t5t5 M1 zreperowana    i prawdopodobieństwo stanu M i i intensywność odpalania  2 3 intensywność produkcji w szt/jed. czasu  0 = 0.05  1 = 0.40  2 = 0.50  3 = 0.05 stąd     szt/jed. czasu

70 Przykład stochastycznej sieci Petri WM 201270 M 0 =(100012)M 1 =(010002)M 2 =(001011) M 3 =(000102) t3t3 t2t2 t1t1 t4t4 t5t5 Graf markowań osiągalnych

71 SIECI PETRI ZE ZNACZNIKAMI INDYWIDUALNYMI WM 201271

72 KOLOROWE SIECI PETRI WM 201272

73 Sieci Petri Zalety i wady Możliwość modelowania różnych systemów, w tym: – struktur, zachowań, własności. Możliwość symulacji Istnieją symulatory i analizatory własności modeli sieciowych Sieci mogą być sterownikami Możliwość optymalizacji: – struktur, zachowań, własności. Różnorodność specyficznych klas sieci Petri dla różnych zastosowań Metody analizy: – metody algebraiczne – metody symulacyjne – metody analizy wydajności Stosunkowo łatwa translacja modelu sieciowego na kod źródłowy i szybkie prototypowanie i projektowanie systemów Podstawowa klasa sieci Petri tzw. sieci P/T ma ograniczone możliwości modelowania pewnych własności (nierozróżnialność znaczników). Brak symulatorów dla zastosowań przemysłowych, głównie dla celów edukacyjnych i badawczych. Brak jednoznacznych metodologii projektowania i badania modeli sieciowych. Brak na razie metod i algorytmów dla automatycznej konstrukcji modeli sieciowych. Brak jednoznacznej dokumentacji, rozproszone źródła i dokumentacja. Potrzeba doświadczenia przy konstrukcji modeli dla złożonych i dużych systemów. WM 2012 73

74 Literatura WM 2012 74 C. Girault, Petri Nets for Systems Engineering: A Guide to Modeling, Verification, and Applications, Springer-Verlag, 2002. http://www.informatik.uni-hamburg.de/TGI/PetriNets P. Witas, Symulator sieci Petriego ze znacznikami indywidualnymi, praca mgr, Uniw. Warszawski, 2003 P. Starke, Sieci Petri, PWN, Wwa, 1987 Cz. Skowronek, Z. Sarjusz-Wolski, Logistyka w przedsiębiorstwie, PWE, 1999 S. Abt, Zarządzanie logistyczne w przedsiębiorstwie, PWE, Warszawa 1998 Z. Banaszak, W. Muszyński, Zarządzanie operacjami, materiały MBA, Uniw. Szczeciński, 2005 M. Dotoli, M. P. Fanti, A. Giua, C. Seatzu, First-order hybrid Petri nets. An application to distributed manufacturing systems, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, vol. 2, no. 2, 2008 S. Iwan, Sieci Petri jako metoda modelowania systemów logistyki miejskiej, Logistyka, 6/2008 M. Silva and E. Teruel. Petri nets for the design and operation of manufacturing systems, European Journal of Control, 3, 1997 A. Desrochers, ed. Modeling and Control of Automated Manufacturing Systems. IEEE Computer Society Press, 1989 W. Reisig: Simple Composition of Nets. Petri Nets, 2009:23-42 N. Smata, Ch. Tolba, i in. Modélisation de la chaîne logistique en utilisant les réseaux de Petri continus.

75 WM 2012 75 Dziękuję za uwagę