1 Sincronización en osciladores acoplados a pulsosAlbert Díaz-Guilera Conrad J. Pérez Alex Arenas Álvaro Corral Xavier Guardiola Mateu Llas UNIVERSIDAD DE BARCELONA

2 2 modelos Pilas de arena, terremotos y luciérnagasSincronización y estructuras espacio-temporales

3 Pilas de arena, terremotos y luciérnagasBak Tang Wiesenfeld (PRL 59 (1987) 381) Sistemas dinámicos extendidos Ruido 1/f: superposición de escalas de tiempo Autosimilaridad espacial Terremotos: leyes potenciales de distribución AUSENCIA DE ESCALAS CARACTERÍSTICAS

4 Autómata celular Sistema discreto con reglas dinámicas sencillasCondición umbral que introduce la nolinearidad

5 Criticalidad auto-organizadaAutoorganizada: El sistema evoluciona de forma natural hacia un estado estacionario de no-equilibrio Crítico: El sistema es crítico en el sentido que no hay escalas características en su evolución: ni espaciales ni temporales Sin necesidad de reglas complicadas y sin ajustar ningún parámetro externo

6 Terremotos: modelo de muelles y bloques

7 Olami, Feder y ChristensenPRL 68 (1992) 1244 Ei,j ® 0 Enn ® Enn+eEi,j 2 time scales

8 Sincronización Física: uniones Josephson Química: reacciones químicasBiología: Celulas marcapasos del corazón Neuronas en el córtex visual Luciérnagas

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10 Osciladores de fase 1 escala temporal Positivo NegativoOsciladores nolineales que se mueven en un ciclo límite Interaccion débil pero continua Modelo de Kuramoto Positivo Negativo

11 Integrate-and-fire oscillators2 escalas temporales Si Ei(t)>Ec Pulso transmitido: EjEj+e(Ej) Reinicializado: Ei0

12 Mirollo & Strogatz SIAM J. Appl. Math. 50 (1990) 1645 SincronizaciónTodos con todos Acoplamiento uniforme positivo Tiempo refractario f’(E)>0

13 CPDA (PRL 75 (1995) 3697) Generalización a acoplamiento dependiente del estado

14 MS en 2d con interacciones nn y CC periódicas (CPDA)

15 SOC y oscilaciones de relajaciónTERREMOTO (FF-OFC) LUCIERNAGAS (MS) Nearest neighbors All-to-all Uniform driving rate dE/dt=1 Nonuniform dE/dt=f(E) Open BC’s No BC’c Enn® Enn+e (FF)    Enn® Enn+eEi  Ej® Ej+e   NO refractory time  Refractory time  SOC SYNCHRONIZATION    

16 Sin tiempo refractario (PRL 74 (1995) 118)Se rompe la sincronización OFC con driving no-uniforme

17 Efecto de la diversidadPeriódico  SOC  Decaimiento exponencial (PRL 78 (1997) 1492)

18 Sincronización y estructuras espacio-temporalesRepresentación continua Con la condición de puesta a cero Ei1

19 Acoplamiento independiente del estadosiendo

20 Descripción en términos de fasesiendo

21 Separando las escalas de tiempoDriving: di/dt=1 Firing PRC

22 Relación entre las interaccionesRecibiendo n firings simultáneos

23 Evolución de las fases Evolución discreta

24 Dos tipos de interaccionesInteracciones excitatorias <0 Interacciones inhibitorias >0 Ejemplo 2 osciladores

25 Dos osciladores Medio ciclo 10 1--1() F D  + 1()11 1--1() F D  + 1()1 Puntos fijos *=1- *- 1(*)

26 Estabilidad ’1()> Inestable -> Sincronización ’1()< Estable -> Phase-locking

27 Osciladores dirigidos en un anillo (PRE 57 (1998) 3820)Driving: di/dt=1 Firing

28 Firing + Driving Return map

29 Acoplamiento negativo

30 Acoplamiento positivo

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32 Puntos fijos Analíticamente: cotas a los módulos de los valores propios <0 puntos fijos estables >0 puntos fijos inestables

33 Estructuras (PRE 60(1999) 3626) 1 4 C(N+1,m) Degeneración del patrónEjemplo: N+1=4 osciladores

34 Selección de los patronesAproximación “de campo medio” Cálculo de la degeneración:

35 Patrón dominante N par: m=(N+1)/2 N impar: m=(N+2)/2 y m=N/2

36 Desaparición de patronesDesaparece !!

37 Desorden topológico (PRE 62 (2000) 5565)Sincronización

38 Medida de la sincronizaciónT tiempo de sincronización

39 Redes aleatorias ( N nodos, l conexiones)Estudiando como escala T con los parámetros de la red se obtiene la ley de escala:

40 Redes parcialmente desordenadasCaracterizamos el grado de desorden topológico de la red mediante un parámetro p (reconexionado) (Watts, Strogatz)

41 Orden y desorden

42 “Frustración dinámica” que impide una sincronización eficienteSimulaciones (T vs p) Dispersión en el número de vecinos “Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente Normalicemos los acoplamientos para compensar la frustración

43 Conclusiones Diferentes comportamientos espacio-temporales, obtenidos a partir de reglas muy sencillas Criticalidad auto-organizada Sincronización Formación de estructuras Mediante simulaciones y resultados analíticos exactos y de “campo medio”