1 SÍNTESIS DE FILTROS Autor: PEDRO QUINTANA MORALES DtoSÍNTESIS DE FILTROS Autor: PEDRO QUINTANA MORALES Dto. Señales y Comunicaciones Universidad de Las Palmas de Gran canaria 2005

2 3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓNConcepto de Aproximación Función Característica Comportamientos de la Aproximación Aproximación de Butterworth PASO BAJO Aproximación de Chebychev PASO BAJO Aproximación de Chebychev Inverso PASO BAJO Aproximación de Cauer PASO BAJO Aproximación de Bessel PASO BAJO Análisis Comparativo

3 APROXIMACIÓN Función Realizable Especificaciones de ToleranciaMódulo, |H(jw)|, Atenuación, a(w) Fase, f(w), Retardo de Grupo, tg(w) |H(jw)| w a(w) w

4 APROXIMACIÓN Especificaciones de Atenuación Banda de Paso, a(w) £ apBanda Atenuada, a(w) ³ aa Banda de transición Discriminación, {ap, aa} Selectividad, {wp, wa} a(w) w wa wp ap aa

5 FUNCIÓN CARACTERÍSTICAFunción Característica (Atenuación No Racional) a(w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]

6 FUNCIÓN CARACTERÍSTICAPropiedades Función Racional, Real y Par en w No Negativa (supuesto a(w)>0) F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación F(w2¥i) = ¥, Ceros de Transmisión Igual Información que a(w)

7 FUNCIÓN CARACTERÍSTICAConsiderando woi , w¥i Î Â nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro w w¥1 w02 w01 F(w2)

8 FUNCIÓN CARACTERÍSTICAComportamiento Asintótico W2 -> ¥ , F(w2) » k2 w2 (n+2L-p-2Q) a(w) » 20 p¥ dB/dec » 6 p¥ dB/oct , p¥=n+2L-p-2Q W2 -> 0 , F(w2) » k2 w2 (n-p) a(w) » 20 p0 dB/dec » 6 p0 dB/oct , p0=n-p

9 COMPORTAMIENTOS ¿F(w2)? para min{ E(w2) = F(w2) – Fid(w2) }Comportamiento Maximalmente Plano Minimiza E(w20) = F(w20)–Fid(w20) en w0 Taylor, en la Banda de Paso Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste) w wo F(w2)

10 COMPORTAMIENTOS Comportamiento con Rizado de Amplitud CteMinimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA ) Máximas Alternancias con raíces simples Aproximación Óptima y Única Transformada de Darlington w F(w2)

11 APROXIMACIÓN PASO BAJOF(w2) Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Constante, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1), CA (F(wo2)=0), CT (F(w2)=), Pendiente de la Atenuación

12 APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJOMaximalmente Plano en el Origen, ¿CA? Ceros de Transmisión en el Infinito F(w2) = (k wn)2 a(w) w

13 APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJOCálculo del Filtro de Butterworth, n y k Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Discriminación, Selectividad, Constante, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

14 APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJOCaracterísticas Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) => Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct

15 APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJOFunción de Transferencia Frecuencias Propias

16 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJORAC en Banda de Paso, ¿CA? Ceros de Transmisión en infinito a(w) w

17 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJOPolinomios de Chebychev, Cn(w) Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w) Propiedades Función Par o Impar según sea n Coeficiente de wn , an = 2n-1 Valores extremos, Cn(1) = 1 RAC en |w| £ 1 , MP en |w| ³ 1 Raíces Simples => Máxima Alternancia n=3 n=4 Cn(x) 1 x

18 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJOCálculo del Filtro de Chebychev, n y e Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Rizado, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

19 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJOCaracterísticas Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)

20 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJOFunción de Transferencia Frecuencias Propias

21 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJORAC en Banda de Atenuación, ¿CT ? Ceros de Atenuación en el origen Forma Modificada de Chebychev F(w2) w 1 F((1/w)2) w 1 1 F((1/w)2) w

22 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJOCálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y e Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Rizado, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

23 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJOCaracterísticas Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct Ceros de Transmisión, (F(w¥,i2)= ¥)

24 APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJOFunción de Transferencia Frecuencias Propias

25 ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad Orden Cauer (óptimo) ChebychevButterworth

26 ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad Nº de Elementos PASIVO depende de CT:infinito (1) finito (2+1) ACTIVO depende CT finito o infinito

27 ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad CalidadEl Q depende de la parte resistiva

28 ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Retardo de GrupoLa distorsión crece con: la pendiente y el rizado BP El retardo crece con: la atenuación (Orden)

29 ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Respuesta al Escalónal Impulso La distorsión como en el R.G.

30 ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Frecuencias PropiasAmortiguamiento

31 ANÁLISIS COMPARATIVO ButterworthCaracterísticas transitorias aceptables Valores de LC prácticos y poco críticos Debe usarse siempre que sea posible

32 ANÁLISIS COMPARATIVO ChebychevRizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp Menor orden que Butterworth Propiedades transitorias se deterioran con n Orden influye en la elección de Rg y Rc Útil cuando lo que importa es |H(jw)|

33 ANÁLISIS COMPARATIVO Cauer Óptimo en cuanto al ordenRequiere ajuste preciso de resonancias Comportamiento transitorio inaceptable Más componentes que Butterworth y Chebychev

34 ANÁLISIS COMPARATIVO Chebychev InversoÓptimo en el orden como Chebychev Comportamiento transitorio como Butterworth Número de componentes como Cauer