1 Sólidos de Revolución Noviembre 2012 VBV

2 Definición Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.

3 Ejemplos…

4 Cilindro de RevoluciónSe obtiene al girar una vuelta completa un rectángulo alrededor de uno de sus lados. r radio Superficie lateral h altura bases

5 Cono de revolución Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. r h generatriz

6 esfera Es el sólido que se obtiene al girar un semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro. R

7 Métodos Para calcular el volumen de este tipo de sólidos veremos por ahora dos métodos: Método de los Discos Método de las Capas Cilíndricas.

8 y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y x =bMétodo de los Discos Consideremos la región plana limitada por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y x =b Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: f(x)  0. f(x) a b x

9 Esta región gira alrededor del eje X.f(x) a b x

10 Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2. Por tanto, OBS: Radio: f(x)

11 Ejemplos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido, por: f(x)= x – x3, 0  x  1, en torno al eje X. (Resp. 4/15) f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)

12 y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y x =bCaso: Arandelas Consideremos la región plana limitada por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y x =b Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: 0  f(x)  g(x). g(x) f(x) a x b

13 Esta región gira alrededor del eje Xb x g(x) f(x)

14 Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al(área del círculo mayor) - (área del círculo menor) El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:

15 Ejemplos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución acotado por la región: y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X. (Resp.) y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)

16 Caso: Rotación sobre el eje YEs la misma idea! y=f(x) x=g(y) f(x)

17 Caso: rotación sobre una rectaSupongamos que la región rota sobre una recta x=L. L- g(y) x=L L- f(y)

18 Caso: rotación sobre una rectaSupongamos que la región rota sobre una recta x=L. x=L g(y) - L f(y) - L

19 Ejercicios Propuestos.Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R: 8/3) Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta y=1 (R: 7/6)

20 Método de las Capas Cilíndricas.V=2(radio)(altura) Esto es,

21 Ejercicios Propuestos.Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de x=2 (R: 29/15) y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R: 4/15)