1 Sposoby badania chaosu na przykładzie układów mechanicznychInż. Marcin Chrząszcz
2 Cechy charakterystyczne chaosuWrażliwość na warunki początkowe Efekt motyla Istnieje co najmniej jedna gęsta orbita Zbiór orbit periodycznych jest gęsty.
3 Krótka historia chaosuW 1963 r. Edward Lorentz opracował model procesów atmosferycznych, opartych na równaniach Naviera-Stokesa.
4 Tak wygląda układ Lorentza
5 Układ Rösslera Rozwiązane metodą Dormand Prince 4(5)
6 Wstęp matematyczny Rozważmy odwzorowanie dyskretne: (1)Punktem stałym odwzorowania (1) nazywamy: Rozwiązania stabilne i niestabilne:
7 Podstawowy układ biologicznyDynamika populacji: Dla rozwiązanie stabilne Weźmy i poszukajmy punktów stałych: Bo stabilny!
8 Mamy bifurkacje Rozważamy przedział Pojawiają się bifurkację: =>Równanie czwartego stopnie ma rozwiązania:
9 Sprawdzamy stabilnośćWarunek na stabilność w i tym punkcie stałym: Po podstawieniu: Po rozwiązaniu: Zakładając teraz czterocykl można otrzymać kolejną wartość k=3,544
10 To co z tym chaosem??? Czy idąc dalej z tymi założeniami jesteśmy w stanie dojść do k=4? Okazuje się że nie, (dowód przez teologię, Bóg raczy wiedzieć dlaczego ) Co się dzieje na przedziale (3,5699, 4] ? MAMY CHAOS !
11 Jak wygląda chaos?
12 Inne przykłady z mechanikiBilard SINAI Tylko jedna całka ruchu (Energia).
13 Chaos w kosmosie Ruch planet w galaktyce możemy modelować jako ruch pojedynczej planety w stałym potencjale. Taki właśnie model w 1962r wprowadził Michel Hénon i jego student Carl Heiles. Model ten zakładał potencjał w postaci: Żeby układ był całkowalny (nie było chaosu) układ musi mieć n całek ruchu, gdzie n jest liczbą stopni swobody.
14 Potencjał Hénona-Hilesa
15 Co musimy wiedzieć z mechanikiDo pełnego opisu układu potrzebujemy znać położenia wszystkich cząstek oraz pędy. Punkty poruszają się więc w przestrzeni 2n wymiarowej przestrzeni fazowej. PRZYKŁAD
16 Jak badać chaos? Metoda Przekrojów Poincarego
17
18
19
20 Uogólnione potencjały Hénona-Hilesa
21
22 Podsumowanie Z chaosem mamy styczność codziennieNauczyliśmy się go nie dostrzegać. Chaos jest młodą dziedziną nauki, potrzebne są gruntowne badania.
23 Dziękuję za uwagę