1 Statystyczna analiza danych w praktyceWykład 2

2 Opis statystyczny danychMiary statystyczne (parametry statystyczne, wskaźniki sumaryczne) to liczby służące do syntetycznego opisu struktury populacji (zbiorowości statystycznej), bądź próby. Klasyfikacje miar statystycznych: Ze względu na reprezentowaną właściwość zbiorowości miary położenia, miary rozproszenia (zmiennośći, zróżnicowania, dyspersji), miary asymetrii, miary koncentracji (skupienia), Ze względu na liczbę uwzględnianych danych miary klasyczne (wyznaczane z wykorzystaniem wszystkich badanych jednostek), miary pozycyjne (oparte na wartościach wybranych jednostek). Statystyczna analiza danych w praktyce

3 Opis statystyczny danychStatystyczna analiza danych w praktyce

4 Klasyfikacja ze względu na badaną cechę populacjiStatystyczna analiza danych w praktyce

5 Statystyczna analiza danych w praktyceMiary położenia Statystyczna analiza danych w praktyce

6 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia arytmetyczna Średnią arytmetyczną wyznacza się przez podzielenie sumy obserwowanych wartości cechy mierzalnej przez ich liczebność Średnia z próby Średnia z populacji n = liczebność próby N = liczebność populacji Statystyczna analiza danych w praktyce

7 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia arytmetyczna Średnia arytmetyczna Najczęściej wykorzystywana miara tendencji centralnej. Dokładną wartość można wyznaczyć jedynie dla szeregów wyliczających i rozdzielczych punktowych. Wrażliwa na wartości skrajne (odstające). Nieodpowiednia, gdy rozkład wyników jest skośny. Średnia = 3 Średnia = 4 Statystyczna analiza danych w praktyce

8 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia arytmetyczna Dla szeregów rozdzielczych punktowych wyznacza się średnią ważoną według wzoru gdzie k – oznacza liczbę klas, zaś ni – liczebność i-tej klasy. Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych wyznacza się średnią ważoną według wzoru gdzie – oznacza środek i-tego przedziału klasowego Statystyczna analiza danych w praktyce

9 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia arytmetyczna Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową jedynie w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej. Średniej tej nie należy stosować w przypadku rozkładów skrajnie asymetrycznych i wielomodalnych. Nie oblicza się jej również w przypadkach, gdy w zbiorowości występują wartości skrajne. Ponadto, średniej arytmetycznej nie należy stosować dla szeregu o otwartych przedziałach, jeżeli przedziały te charakteryzują się dużą liczebnością. Statystyczna analiza danych w praktyce

10 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia geometryczna Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n zmiennych: Średnią geometryczną stosuje się w przypadkach, gdy wartości zmiennej tworzą postęp geometryczny, lub w przypadku rozkładu skrajnie asymetrycznego. Średnia ta ma zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian. Średniej geometrycznej nie należy stosować, jeżeli którakolwiek z wartości zmiennej jest ujemna, lub równa zeru!!! Statystyczna analiza danych w praktyce

11 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia harmoniczna Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych. W przypadku szeregów wyliczających (szczegółowych) średnią harmoniczną liczy się ze wzoru: Statystyczna analiza danych w praktyce

12 Statystyczna analiza danych w praktyceŚrednia harmoniczna Dla szeregów rozdzielczych punktowych średnią harmoniczną liczy się z uwzględnieniem wag, tzn: Statystyczna analiza danych w praktyce

13 Statystyczna analiza danych w praktyceDla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną liczy się następująco: Średnią harmoniczną stosuje się wówczas, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych. Statystyczna analiza danych w praktyce

14 Statystyczna analiza danych w praktyceKwantyle Kwantyle to wartości cechy mierzalnej, które dzielą uporządkowany rosnąco zbiór wartości na określone części pod względem liczby jednostek. Mediana (wartość środkowa) (Me) dzieli zbiór obserwacji na dwie części. Połowa jednostek ma wartości mniejsze, lub równe medianie, a połowa ma wartości równe, lub od niej większe. Zazwyczaj stosuje się tę miarę dla opisu rozkładów silnie asymetrycznych (skośnych). Inne kwantyle, to: Kwartyle Decyle Percentyle Statystyczna analiza danych w praktyce

15 Statystyczna analiza danych w praktyceMediana Jest niewrażliwa na wartości ekstremalne Dla uporządkowanej niemalejąco próbki,mediana jest wartością “środkową” Jeśli n lub N is nieparzyste, mediana jest środkową obserwacją jeśli n lub N jest parzyste, mediana jest średnią z dwu obserwacji środkowych Mediana = 3 Mediana = 3 Statystyczna analiza danych w praktyce

16 Statystyczna analiza danych w praktyceWyznaczanie mediany szereg szczegółowy: szereg rozdzielczy: gdzie - dolna granica przedziału z medianą, n-liczebność próby, - suma liczebności klas poprzedzających klasę z medianą, - liczebność klasy z medianą, h długość przedziału. Statystyczna analiza danych w praktyce

17 Statystyczna analiza danych w praktyceGraficzna metoda wyznaczania mediany i kwartyli n=100 n=75 n=50 n=25 Q1 Me Q3 Statystyczna analiza danych w praktyce

18 Która miara położenia jest najlepsza?Średnia jest ogólnie stosowana o ile nie ma obserwacji odstających (outliers) Mediana jest stosowana, ponewaz nie jest wrażliwa na obserwacje ekstremalne. Przykład: Mediana cen mieszkań w regionie lub dochodu miesięcznego w grupie zawodowej lepsza od średniej Statystyczna analiza danych w praktyce

19 Statystyczna analiza danych w praktyceKwartyle Kwartyle dzielą uporządkowane dane na 4 równe pod względem liczebności grupy 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 Przykład: Pierwszy kwartyl Uporządkowana próbka: (n = 9) Mediana = 16 Q1 = 25th percentyl, znajdź medianę z „mniejszej” połowy próbki więc Q1 = 12.5 Statystyczna analiza danych w praktyce

20 Statystyczna analiza danych w praktyceInne miary położenia Inne miary położenia Percentyle Kwartyle p - ty percentyl próbkowy : p% obserwacji w próbce jest mniejszych bądź równych jemu (100 – p)% jest większych bądź równych (gdzie 0 ≤ p ≤ 100) 1st kwartyl = 25ty percentyl 2nd kwartyl = 50ty percentyl = mediana 3rd kwartyl= 75ty percentyl Statystyczna analiza danych w praktyce

21 Statystyczna analiza danych w praktycePercentiles p - ty percentyl uporządkowanej rosnąco próbki n wartości jest wartościa na i tej pozycji, gdzie Przykład: 60 ty percentyl dla próbki 19 tu wartości jest 12-tą co do wielkości wartością: Statystyczna analiza danych w praktyce

22 Statystyczna analiza danych w praktyceModa Moda (Modalna, Dominanta) to wartość cechy, której w zbiorze danych odpowiada największa liczebność (częstość). W przypadku danych pomiarowych niepogrupowanych, moda jest tym pomiarem, który występuje najczęściej. Zazwyczaj pełni rolę pomocniczej oceny tendencji centralnej. Wykorzystywana do określenia typowego wyniku pomiarowego. Rozkłady wyników mogą być bez modalnej, jednomodalne, wielomodalne. Jest jedyną miarą tendencji centralnej jaką można wyznaczyć dla danych jakościowych. Statystyczna analiza danych w praktyce

23 Statystyczna analiza danych w praktyceModa Miara położenia Wartość występująca najczęściej Nie wrażliwa na obserwacje ekstremalne Zarówno dla danych ilościowych jak i jakościowych Może nie istnieć albo wiele wartości mód brak mody Moda = 5 Statystyczna analiza danych w praktyce

24 Statystyczna analiza danych w praktyceModa W przypadku danych przedstawionych za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowgo przybliżoną wartość mody wyznacza się z wzoru gdzie - dolna granica przedziału z modą, - liczebność klasy z modą, - liczebność poprzedzającą klasę z modą, liczebność klasy występującej po klasie z modalną, h długość przedziału. Statystyczna analiza danych w praktyce

25 Statystyczna analiza danych w praktyceGraficzna metoda wyznaczania mody Mo Statystyczna analiza danych w praktyce

26 Dziękuję za uwagę