1 Statystyczne parametry akcjiŚrednie Miary rozproszenia Miary współzależności
2 Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historycznaDi - dywidenda wypłaconą w i – tym okresie, Pi, Pi-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie
3 Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna
4 Średnia stopa zwrotu z akcji Metoda historyczna
5 Wartość oczekiwana zmiennej losowej (Miara tendencji centralnej)Def. Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwaną EX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x1, ..., xn nazywamy liczbę
6 Średnia stopa zwrotu z akcji Prognozowanie ekspertoweStan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A pi ri Bessa 0,1 -20% Trend spadkowy 0,3 0% Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30%
7 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Własności(i) E (X) = a jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv) E(X + a) = E(X) + a dla dowolnej liczby rzeczywistej a
8 Wariancja zmiennej losowej (Miara rozproszenia wyników)Def. Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę
9 Ryzyko papieru wartościowego
10 Ryzyko papieru wartościowegoOba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem „bezpieczniejsze”. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)
11 Ryzyko papieru wartościowego Metoda ekspertowaStan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A Składniki wariancji pi ri (ri-RA)2pi Bessa 0,1 -20% 0,00625 Trend spadkowy 0,3 0% 0,00075 Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30% wariancja 0,014
12 Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna
13 Ryzyko papieru wartościowego. Metoda historyczna
14 Zmienność ceny akcji
15 Wariancja ceny akcji. Met. Hist
16 Ryzyko papieru wartościowego Odchylenie standardoweWymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie std. jest miarą rozproszenia stopy zwrotu z akcji
17 Wariancja zmiennej losowejStwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X2) – (E(X))2 Dowód. E[(X-E(X))2] = E(X2 – 2XE(X) + (E(X))2) =E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 = E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = =E(X2) – (E(X))2.
18 Wariancja zmiennej losowejWniosek ze stwierdzenia:
19 Wariancja. Własności Var X > 0 jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX
20 Niezależność zmiennych losowychDef. 8. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek
21 Niezależność zmiennych losowychTwierdzenie 2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.
22 Kowariancja zmiennych losowych Miara współzależnościDef. 9. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę
23 Kowariancja zmiennych losowychStwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci
24 Kowariancja zmiennych losowychDowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.
25 Kowariancja zmiennych losowychDef. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)
26 Własności kowariancjia - dowolna liczba rzeczywista (i) Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv) Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v) Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)
27 Kowariancja. Szczególny przypadekJeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz
28 Kowariancja papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe
29 Kowariancja papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe
30 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotu z n okresów
31 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotuKowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych (Drugi wzór – dla małej liczby danych)
32 Kowariancja papierów wartościowych dla historycznych stóp zwrotuKowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych (Drugi wzór – dla małej liczby danych)
33 Korelacja Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę (ozn. także Cor (X,Y))
34 Korelacja, własności zakładamy dodatnie odchyl. standardoweCor (X,X) = 1, Cor (X,Y) = Cor (Y,X) Cor (aX,X) = 1, gdy a > 0 Cor (aX,X) = -1, gdy a < 0 Cor (aX,Y) = Cor (X,Y), gdy a > 0 Cor (aX,Y) = - Cor (X,Y), gdy a < 0 Cor (a + X,Y) = Cor (X,Y) gdy a różne od zera Cor (aX,aY) = Cor (X,Y),
35 Korelacja papierów wartościowychWspółczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych
36 Korelacja papierów wartościowychMówimy, że stopy zwrotu akcji A i akcji B są dodatnio skorelowane, gdy Cor (A,B ) > 0 ujemnie skorelowane , gdy Cor(A,B ) < 0, nieskorelowane , gdy Cor (A,B ) = 0, doskonale skorelowane, gdy Cor(A,B )= 1, doskonale ujemnie skorelowane , gdy Cor (A,B ) = - 1
37 Wariancja sumy dwóch zmiennych losowychTwierdzenie Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)
38 Wariancja sumy dwóch zmiennych losowychDowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y)2 – [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2XY + Y2) – [E(X) + E(Y)]2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – [E(X)]2 ) + (E(Y2) – [E(Y)]2 )+2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)