1 Sterowanie – metody alokacji biegunów IIIPrzykład 2 System trzeciego rzędu System SISO Wartości własne systemu (bieguny systemu) Złożenie: człon pierwszego rzędu inercyjny, człon drugiego rzędu oscylacyjny Parametry: - człon pierwszego rzędu inercyjny: stała czasowa bezwładności - - człon drugiego rzędu oscylacyjny: pulsacja drgań własnych nietłumionych - współczynnik tłumienia -

2 System jednowymiarowy – sprawdzenie sterowalności przez sprawdzenie wyznacznika macierzy sterowalności Kalmana Wartość wyznacznika niezerowa – system jest sterowalny (policzyć!) Należy zaprojektować sterownik od stanu, regulacyjny taki, aby otrzymać system zamknięty z wartościami własnymi rzeczywistymi jednakowymi dającymi stałe czasowe bezwładności około 1.5 s. Zatem wartości własne Stąd Zaprojektujemy sterownik korzystając z postaci kanonicznej sterowalności systemu

3 Skorzystamy z Twierdzenia D1 (poprzedni wykład)Z otrzymanego układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi obliczymy

4 Możemy obliczyć macierz przekształcenia podobieństwaOtrzymamy

5 Stąd lub czyli używając oznaczeń odnoszących się do postaci kanonicznej sterowalności

6 Możemy obliczyć macierz wzmocnień

7 Możemy obliczyć wartości własne systemu zamkniętegoNiezbyt dokładnie to, co chcieliśmy – zbyt duże błędy zaokrągleń Symulacja systemu zamkniętego Warunki początkowe zerowe, yr – skok jednostkowy

8 Wyjście Przeregulowania (około 12%) !!! Sterowanie (wejście)

9 Transmitancja systemu otwartegoZero systemu powodem oscylacji

10 Pytanie: co dzieje się z zerami systemu podczas przemieszczania biegunów w pożądane położenie za pomocą sprzężenia zwrotnego od stanu? Twierdzenie: Zera systemu (otwartego) nie zmieniają się po dodaniu sprzężenia zwrotnego od stanu. Innymi słowy, zera systemu, który został zamknięty przez macierz wzmocnień L sprzężenia zwrotnego od stanu są zerami pierwotnego systemu

11 Przykład 3 – system niesterowalny lecz stabilizowalnyWartości własne System jest stabilny Macierz sterowalności Kalmana System jest niesterowalny

12 Dwie pierwsze kolumny - liniowo niezależneRząd macierzy sterowalności wynosi 2 Propozycja macierzy przekształcenia podobieństwa potrzebnej do dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne i niesterowalne

13 Przekształcenie podobieństwaOtrzymujemy macierze

14 Sterowalna część systemu opisana jest macierzami:Niesterowalna część systemu opisana jest macierzami: Macierz sterowalności części sterowalnej Macierz wzmocnień – dwie części

15 Część sterowalna – rząd drugi  dwie wartości własne (bieguny) mogą być umieszczone w dowolnym położeniu Niech Aby znaleźć macierz wzmocnień zastosujemy wzór Ackermann’a

16 Trzeci element macierzy wzmocnieńnie ma wpływu na położenie wartości własnych systemu zamkniętego i może być wybrany dowolnie, na przykład równy zero

17 Dokonując retransformacjiNiejednoznaczność wyznaczenia macierzy L !!!

18 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę