1 Strahlung und Materie: Teil II

2 Zusammenfassung Teil I (Phänomenologie)Strahlungsfeld Intensität Iν, Energiefluss (Energie/Flächeneinheit), Leuchtkraft, Strahlungsstrom thermodynamisches Gleichgewicht: Strahlung ist isotrop und Iν=Bν(T) (Planck-Funktion) Hohlraumstrahlung (Strahlung eines schwarzen Körpers) Wiensche’s Verschiebungsgesetz Grenzfälle: ν>>νmax : , ν<<νmax : Totale Flächenhelligkeit (Stefan-Bolzmann Gesetz): Strahlungstransportgleichung mit dτν =κνds, Sν=εν/κν im LTE: Dopplereffekt ; Magnitudenskala

3 Zustandsgleichung Beim Studium von astrophysikalischen Systeme haben wir es mit sehr unterschiedlichen Dichten zu tun (Sterne ~ 1gcm-3, n-Sterne ~ 1014 gcm-3, etc) => Materie in sehr verschiedenen Zuständen Die Beschreibung der Materie kann (iA) vereinfacht werden, falls wir die Zustandsgleichung benutzten: dh Beziehungen zwischen Druck, Dichte, Temperatur: Für das klassiche ideale Gas (kinetische Energie dominiert!): Im Allgemeinen kann die Zustandsgleichung eines Gases mit der kinetischen Theorie aus der Impuls- oder Energieverteilungsfunktion der Teilchen bestimmt werden Druck Energiedichte

4 Kinetische Theorie der freien TeilchenVerteilungsfunktion: Anzahl der Teilchen die sich zur Zeit t im Voluemenelement d3r=dV am Ort r aufhalten, und Impulse p besitzen. Gesamtzahl der Teilchen Betrachte Würfel mit V=L3 und N Teilchen => Teilchendichte = n0=N/L3. Sei n(p) die (isotrope) Verteilungsfunktion der Impulse. Wir erhalten: Der Druch auf eine Wand (pro Zeit und Fläche übertragener Impuls dp):

5 Kinetische Theorie der freien TeilchenImpuls auf die Wand senkrecht zur x-Richtung Für eine isotrope Impulsverteilung (in sphärischen Polarkoordinaten): Dichte der Teilchen mit Impuls p übertragener Impuls/Teilchen Teilchen in V erreichen die Wand in dt

6 Kinetische Theorie der freien TeilchenNach Einsetzen erhalten wir für den Druck: => der Druck wird durch die Impulsverteilung der Teilchen bestimmt! Die Energiedichte der Teilchen ist:

7 Verteilungsfunktion von Fermionen und BosonenAlle Teilchen: Bose-Einstein oder Fermi-Dirac Statistik; bei kleinen T ist die Art der Teilchen wichtig wenn man ihr thermodynamisches Verhalten bestimmen will; bei hohen T verhalten sich alle ideale Gase freier Teilchen wie das klassische ideale Gas. Aus der großkanonischen Zustandssumme => Energieverteilungsfunktionen für Fermionen und Bosonen im thermodynamischen Gleichgewicht:

8 Verteilungsfunktion von Fermionen und BosonenFür alle massive Teilchen die weder erzeugt noch vernichtet werden kann η aus der Forderung der Teilchenzahlerhaltung bestimmt werden: (gilt nicht für Photonen in einem Hohlraumstrahler da η=0) Abhängig von η unterscheiden wir zwischen: (Erklärung siehe folgende slides)

9 Impulsverteilung von nicht-entarteten, freien TeilchenFalls => und: Mit der kinetische Energie des freien Teilchens: und der Anzahl der Quantenzustände zwischen (E, E+dE): folgt: Integration => Eliminiere eη in dN => => Maxwell-Boltzmann Verteilung

10 Die Maxwell-Boltzmann Verteilungwir erhielten die Energieverteilungsfunktion von nicht-entarteten, freien Teilchen im thermodynamischen Gleichgewicht Beispiel: Geschwindigkeitsverteilung von H-Atome bei T=104K Fläche zwischen 2 v’s: Bruchteil der Atome (nv/n) mit Geschwindinkeiten zwischen (v, v+dv) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist (Carroll&Ostlie)

11 Wann ist ein freies Teilchengas entartet?Wir definieren die de Broglie Wellenlänge eines Teilchens im thermodynamischen Plasma: und der mittlere Teilchenabstand r0: Wir hatten gerade gezeigt dass für , oder: Damit erhalten wir dass: => grosser Abstand zwischen den Teilchen, Quanteneffekte sind nicht relevant, wir können diese als klassisch betrachten

12 Wann ist ein freies Teilchengas entartet?Entartete Systeme in der Astrophysik sind i.A. fermionisch. Da das Pauli-Prinzip gilt, haben wir maximal ein Teilchen pro Phasenraumzelle (die maximale Phasenraumdichte is α/h3). Für Fermionen gilt die Energieverteilungsfunktion (ε=p2/2m) mit η=μ/kT: Komplette Entartung: falls das System auf T gekühlt wird, die viel kleiner als das chemische Potential μ sind, dh η >>0 μ = εF Fermi-Energie, pF = Fermi-Impuls. Die Fermi-Energie ist die Energie des energiereichsten Elektrons im System.

13 Fermi-Dirac VerteilungKleine Temperaturen: Stufenfunktion: alle Zustände unterhalb der Fermienergie besetzt Grössere Temperaturen: Zustände oberhalb der Fermienergie werden erreichbar

14 Wann ist ein freies Teilchengas entartet?Wir bestimmen η aus der Forderung dass das Integral über die Besetzungszahlen N ist: Falls die Verteilung der Impulse isotropisch und die Teilchenverteilung homogen ist, erhalten wir: Wir ersetzen und erhalten:

15 Wann ist ein freies Teilchengas entartet?bei starker Entartung η>>1 kann als Stufenfunktion approximiert werden und das Integral vereinfacht sich zu: Auflösen nach η und Einsetzen von λdeBroglie und r0 ergibt:

16 Wann ist ein freies Teilchengas entartet?damit ist η>>1 falls r0<<λdeBroglie => wir können die Quanteneigenschaften der Teilchen nicht mehr vernachlässigen falls ihr Abstand kleiner als die typische de Broglie Wellenlänge ist. Wir können den Fermi-Impuls pF aus dem vollständig entarteten Fall berechnen: der Fermi-Impuls ist der höchste Teilchenimpuls im Falle unendlicher Entartung Zusammenfassung: bestimmt den Entartungsgrad:

17 Astrophysikalische Beispiele für entartete FermionenSonne, weisser Zwerg, Neutronenstern (M~Mo). Die mittleren Dichten und Temperaturen sind und das Verhältnis ist: Sonne: ideales Gas, Maxwell- Boltzmann Weisser Zwerg: Elektronen entartet, Protonen MB Neutronenstern: Neutronen entartet R n [cm-3] λdeBroglie/r0 (e-) λdeBroglie/r0 (p/n) Sonne 7∙1010 cm 8∙1023 0.15 3.7∙10-3 Weisser Zwerg 10-2 Ro 8∙1029 15 0.37 Neutronen-stern 1.4∙10-5 Ro 3∙1038 --- 27

18 Beispiel: Temperatur-Dichte Diagramm

19 Die Planck-Verteilungsfunktion für PhotonenPhotonen sind Bosonen. Da ihre Teilchenzahl im thermodynamischen Gleichgewicht nicht erhalten ist, haben wir η=0 und somit ist die Verteilungsfunktion Im TE ist die Verteilung der Impulse isotropisch; die Photonen haben 2 Polarisationsrichtungen: Energie, Impuls und Frequenz der Photonen hängen zusammen über: Durch Einsetzen erhalten wir die Anzahldichte der Photonen im Frequenzintervall (ν, ν+dν):

20 Die Planck-Funktion für PhotonenUm auf die Energiedichte im Frequenzintervall (ν, ν+dν) zu kommen, multiplizieren wir mit hν: Wir definieren die Intensität Bν(T) als die Energie, die durch eine Einheitsfläche pro Sekunde und Raumwinkel fliesst. Die Beziehung zwischen Intensität und Energiedichte ist: Somit erhalten wir die Planck-Funktion Bν(T), die Photonen im thermodynamischen Gleichgewicht beschreibt (Hohlraumstrahlung): => Die Frequenzverteilung der Strahlung eines Systems im TE ist isotrop, homogen, unabhängig von der chemischen Zusammensetztung des emittierenden Materials, abhängig nur von der Temperatur

21 Zustandsgleichungen Für das Maxwell-Boltzmann Gas gilt:mit und der Druckgleichung aus der kinetischen Theorie erhalten wir für den Druck: und für die kinetische Energie:

22 Zusammenfassung: ZustandsgleichungenNormale Sterne: Weisse Sterne: entartetes Elektronengas liefert den Druck: nicht-relativistische Entartung relativistische Entartung Neutronensterne: entartete Neutronen liefern den Druck: , ansonsten wie beim weissen Zwerg nur unterschiedliche Koeffizienten A, B, C, D und kritische Dichte Photonen: Bosonen, daher gilt

23 Der Energieaustausch zwischen dem elektromagnetischen Strahlungsfeld und stellarer Materie erfolgt durch Änderung der Energie freier und gebundener Elektronen, verbunden mit Absorption und Emission von Photonen Fragen: welche Übergänge sind möglich? was ist das Verhältnis der Anzahl N der Atome (oder Ionen) in einem bestimmten Energiezustand? wie erklären wir die Spektrallinien? Boltzmann-Gleichung Saha-Gleichung Atomare/molekulare Übergänge

24 Boltzmann-Gleichung Betrachte freie, nicht-entartete Atome mit einem angeregten Elektron. Die Energie des Atoms A ist die Summe aus kinetischer plus Anregungsenergie Ei: Die Anzahl der Quantenzustände im Intervall (E, E+dE) ist (wobei gi=die Entartung des angeregten Zustandes, “statistisches Gewicht” oder Anzahl der Einzelzustände, die zur Energie Ei beitragen): Integration über die Verteilungsfunktion liefert: oder (wobei ni= Anzahldichte der Atome mit einem Elektron im Quantenzustand i):

25 Boltzmann-Gleichung Daraus folgt das Verhältnis der Anzahldichten der Atome in zwei unterschiedlichen Energiezuständen Ei und Ej: Beispiel: Wasserstoffatom -> Entartung der Energiezustände ist 2n2 (n=Hauptquantenzahl) Grundzustand: E = eV, n=1, g1=2 1. Angeregter Zustand: E = -3.4 eV, n=2, g2 = 8 2. Angeregter Zustand: E = -1.5 eV, n=3, g3 = 18 Sei Gas aus neutralem Wasserstoff; bei welcher T sind gleich viele Atome im Grundzustand und im ersten angeregten Zustand? Boltzmann-Faktor Boltzmann-Gleichung für das Verhältnis der Besetzungszahlen

26 Boltzmann-Gleichung Wir setzen n1 = n2 in der Boltzmann-Gleichung und erhalten: Relative Besetzung des 1. angeregten Zustands von H als Fkt. der Temperatur (Carroll&Ostlie) => es werden hohe Temperaturen benötigt, um viele H-Atome in den ersten angeregten Zustand zu bringen! => jedoch erreichen zB die Balmer-Linien (von n=2 nach n=3,4,...) ihr Maximum bei etwa 9520K und werden sogar schwächer in heisseren Sternen; warum?

27 Boltzmann-Gleichung Partitionsfunktion:Um die Anzahldichte nA,i eines Atoms (oder Ions) A im Quantenzustand i relativ zu der Anzahldichte aller Atome (oder Ionen) zu erhalten, müssen wir die Summe über alle Quantenzustände berechnen (= die Partitionsfunktion Z): dann folgt: Partitionsfunktion: die gewichtete Summe der Arten, in der ein Atom bei einer gegebenen Temperatur seine Elektronen arrangieren kann Die energiereicheren Konfigurationen werden dabei durch den Boltzmann-Faktor heruntergewichtet

28 Die Saha-Gleichung wir behandeln den einfachen Fall der Ionisation (gebunden-frei Übergang): Atom im Grundzustand + Photon => Ionisiertes Atom im Grundzustand + freies Elektron Mit (mA≈mI): ist die Anzahl der Zustände: wir integrieren über die Verteilungsfunktionen um die Anzahldichten der Teilchen zu erhalten:

29 Die Saha-Gleichung mit ge = 2 (2 Spinzuständes des Elektrons):Da die Energie konserviert ist, müssen die chemischen Potentiale die Beziehung erfüllen: Aus dem Produkt nIne/nA folgt die Saha-Gleichung: geht zurück auf den indischen Astrophysiker Meghnad Saha, 1920

30 Die Saha-Gleichung => das Verhältnis der Anzahl von ionisierten Atomen zu den Atomen im Grundzustand abhängig von 1/ne: je mehr freie Elektronen da sind, umso leichter können Ionen wieder rekombinieren, umso weniger Atome sind im ionisierten Zustand Beispiel: Sternatmosphäre aus Wasserstoff => nI/nTot = nI/(nI+nA)=(nI/nA)/(1+nI/nA) Bruchteil der ionisierten Atome zwischen 5000 K und K => Ionisation läuft in einem kleinen T-Bereich von etwa 3000K um T~ 10000K herum ab => Zone partieller Ionisation bei 9600 K sind 50% der H-Atome ionisiert bei K: ~ 100% (Carroll&Ostlie)

31 Boltzmann + Saha-GleichungDie Stärke der Balmer-Linien hängt von dem Verhältnis n2/nTot ab = Anteil aller H-Atome, die im angeregten (n=2) Zustand sind. Aus der Kombination der Saha und Boltzmann-Gleichungen folgt das Verhältnis von Atomen im 1. angeregten Zustand zu allen Atomen Ergebnis: deutlicher Peak bei 9900 K, in guter Übereinstimmung mit Beobachtungen! Abnehmende Stärke der Balmer-Linien bei Teff>10000 K kommt durch schnelle Ionisation des Wasserstoffs bei hohen Temperaturen zustande (Carroll&Ostlie) e- im Grundzustand Max. der Balmer-Linie H ionisiert

32 Atomare und molekulare ÜbergängeEmission und Absorption von Photonen finden durch Prozesse in Atome/Moleküle. Diese Prozesse sind quantenmechanischer Natur. Wir erhalten ein: diskretes Spektrum von Energie-Eigenwerten für gebundene Elektronen (E<0) kontinuierliches Energiespektrum für freie Elektronen (E>0) Folgende Wechselwirkungen zwischen Photonen und Elektronen sind möglich: Absorption Spontane Emission Stimulierte Emission wobei Übergänge zwischen folgenden Energieniveaus stattfinden können: diskret-diskret (gebunden-gebunden) => Spektrallinien diskret-kontinuierlich (gebunden-frei) => Ionisation => Rekombination kontinuierlich-kontinuierlich (frei-frei) => Bremsstrahlung (im E-Feld eines Ions)

33 Atomare und molekulare ÜbergängeBender&Burkert

34 Eigenwerte des WasserstoffsDer Zustand des Elektrons ist beschrieben durch die folgenden Quantenzahlen: n Hauptquantenzahl n=1, 2, 3, ... l Bahndrehimpuls l=0, 1, 2, .., n-1 ml z-Komponente des Bahndrehimpulses ml=-l, -(l-1),...., l-1, l s Spin ms=±1/2 Energieeigenwerte (a0=Bohr-Radius = Å) Balmerlinien: n=2 -> n=3, 4, 5,... (Hα, Hβ, Hγ, ...) Entartungsgrad pro Energieeigenwert:

35 Balmer-Linien des (Bohrschen) WasserstoffatomsEmissionslinien Absorptionslinien (Carroll&Ostlie)

36 Energienieveaus des (Bohrschen) WasserstoffatomsE< 0: gebundene Zustände; E> 0: freie Zustände Ionisationslimit (n->∞) hat E=0 (Carroll&Ostlie)

37 Eigenwerte von Atomen mit mehreren ElektronenAlkali-Metalle Elektrostatische Abschirmung des Kernpotentials N (Elektronen) >1: die Bahndrehimpulse und Spins der Elektronen koppeln LS-Kopplung (Spin-Bahn << Coulomb): jj-Kopplung (Spin-Bahn >> Coulomb) Moleküleigenwerte molekulare Übergänge wichtig im interstellaren Medium und kühle Sterne Übergänge durch Vibration ( nahes IR) und Rotation ( sub-mm, mm, radio) Eel>>Evib>>Erot

38 Auswahlregeln die Übergangsmöglichkeiten bei Emission oder Absorption von elektrischer Dipolstrahlung sind beschränkt durch Auswahlregeln: Nur Übergänge zwischen geraden und ungeraden Niveaus J ändert sich nur um ΔJ=0 oder ΔJ =±1 (der Übergang J=0 →J=0 ist verboten) Für LS-Kopplung gilt zusätzlich: ΔL=0,±1 ΔS=0 (keine Interkombinationen, zB von Singlett-Triplett) Ein Übergang = erlaubt, falls keine Auswahlregel verlezt ist. Sind die ΔL und ΔS Auswahlregeln nicht erfüllt => verbotene Übergänge Diese finden durch elektrische Quadrupolstrahlung oder magnetische Dipolstrahlung mit sehr viel kleiner Wahrscheinlichkeit statt

39 Streuprozesse Rayleigh Streuung: WW von gebundenen Elektronen mit niederenergetischen Photonen Grund für den blauen Himmel! Der Wirkungsquerschnitt ist: Thomson Streuung: WW von freien Elektronen mit niederenergetischen Photonen WQ: wichtig für IR, optische, UV-Strahlung in Sternatmospären, interstellarem + intergalaktischem Gas, Big Bang,... Compton-Streuung: WW von freien Elektronen mit hochenergetischen Photonen wichtig für sehr heisse Gase, Röntgen-und Gammastrahlung (bei Egamma> 2mec2 (=1.02 MeV) => Paarerzeugung im Coulombfeld einer Ladung)