1 Sucesiones y Progresiones

2 Progresión Aritmética y Progresión GeométricaProgresiones También conocida como una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que tienen un comportamiento común entre si. A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos. Una sucesión se puede representar mediante una expresión que permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que ocupa. Estudiaremos las más conocidas: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

3 Progresiones A) 1, 6, 11, 16…… B) 45, 40, 35, 30 C) 10, 20, 40, 80……D) 24, 12, 6, 3 ¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen? ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cada progresión?

4 Progresión AritméticaUna progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como: Un término n menos el que le antecede

5 Progresión Aritmética1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad constante que se suma es 5: = 6 = 11 = 16 Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se suma es: -3 = 42 = 39 = 36

6 Progresión AritméticaUna progresión finita es aquella que tiene un número determinado de términos. Una progresión infinita es aquella que tiene un número indefinido de términos.

7 Progresión AritméticaPara calcular el enésimo término de cualquier progresión aritmética utilizamos: Donde: l = último término n = número de términos a = primer término d = la diferencia común d n a l ) 1 ( - + =

8 Progresión AritméticaEjemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24 El primer termino es (a) es 4. La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4. El número de términos (n) es 6. Primer termino: a = 4 Segundo termino: a + d = = 8 Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12 Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16 Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20 Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

9 Progresión AritméticaAdemás la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:                        Donde: S = es la suma de los n términos l = último término n = número de términos a = primer término d = la diferencia común 2 ) ( a n S + l =

10 Progresión AritméticaPrimer Término a Diferencia común d Valor del 8° término l Clasificación de la progresión 12, 18, 24, 30, 36 -3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 …. 2, 6, 10, 14, 18, 22 ½, 1, 1 ½,

11 Progresión GeométricaEs una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positivo o negativo)  llamada razón común.

12 Progresión Geométrica6/3, 12/3, 24/3…. La razón común es r = 2 dado que: 6/3 * 2 = 12/3 12/3 * 2 = 24/3 Los elementos de una progresión geométrica son: a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo termino n = número de términos

13 Progresión GeométricaPara calcular el enésimo término tenemos: Donde : a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo termino n = número de términos 1 - = n r a l

14 Progresión GeométricaLa suma de los n primeros términos se podría calcular como: Cuando r = 1 r a l S - = r