1 Sygnały i układy liniowePodstawowe określenia Przykłady sygnałów & układów ich przetwarzania Rodzaje modeli sygnałów i układów ich przetwarzania Układy liniowe i stacjonarne (ULS) Transmitancja ULS Wyznaczanie odpowiedzi ULS Przekształcanie sygnału harmonicznego w ULS Podsumowanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

2 Podstawowe określeniaukład (system) sygnały wejściowe wyjściowe Sygnał - zmienność wielkości fizycznej w funkcji (t;x,y,z). Sygnały wejściowe - wielkości oddziaływujące na badany układ. Sygnały wyjściowe - wielkości opisujące zachowanie układu. Teoria sygnałów zajmuje się modelowaniem: właściwości sygnałów, przetwarzania sygnałów w układach. Model sygnału/układu - opis sygnału/działania układu za pomocą funkcji lub równań matematycznych. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

3 Przykłady sygnałów & układów ich przetwarzaniaPRZENOSZENIE INFORMACJI NA ODLEGŁOŚĆ: sygnały radiowe & telewizyjne, telefonia stacjonarna & mobilna ZBIERANIE INFORMACJI „Z OBIEKTU”: ultrasonografia, tomografia, techniki radarowe, analizy giełdowe, trendy demograficzne. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

4 Rodzaje modeli sygnałów i układów ich przetwarzaniam. analogowe m. dyskretne m. stacjonarne m. niestacjonarne m. liniowe m. nieliniowe p. skupione p. rozproszone m. deterministyczne m. losowe m. statyczne m. dynamiczne „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

5 Modele analogowe Kompresja  y xModele analogowe cechują się tym, że sygnały wejściowe oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób ciągły. Kompresja  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x y „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

6 Modele analogowe Kompresja 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 Kompresja  sygnał przed kompresją sygnał po kompresji Celem kompresji jest „wzmocnienie” sygnałów o niskim poziomie, tym silniejsze im słabszy jest sygnał. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

7 Modele dyskretne bufor kanał tModele dyskretne cechują się tym, że sygnały wejściowe oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób skokowy. bufor kanał 3 t 1 2 4 5 6 7 Zliczanie pakietów jest formą opisu strumienia ruchu. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

8 Modele statyczne bufor kanałCharakterystyki systemów statycznych nie zależą od czasu. bufor kanał Buforowanie pakietów jest najprostszą formą multipleksacji strumieni ruchu w kanale. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

9 Modele dynamiczne bufor kanał Aproksymacja dyfuzyjnaCharakterystyki systemów dynamicznych zależą od czasu. bufor kanał Aproksymacja dyfuzyjna „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

10 Modele stacjonarne WEJ WYJ SPRZĘŻENIE ZWROTNEModele stacjonarne cechują się tym, że parametry sygnałów oraz układu przetwarzania są stałe w czasie. WEJ WYJ ITERACJA LOGISTYCZNA SPRZĘŻENIE ZWROTNE „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

11 Modele stacjonarne 100 200 300 400 500 600 700 800 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

12 Modele niestacjonarneModele niestacjonarne cechują się tym, że parametry sygnałów oraz układu przetwarzania są zmienne w czasie. Modulacja częstotliwości FM Chwilowa częstotliwość sygnału jest proporcjonalna do poziomu sygnału modulującego. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

13 Modele liniowe R C r x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) Filtr preemfazyW modelach liniowych reakcja układu na złożony sygnał wejściowy jest sumą reakcji składowych. R C r x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) Filtr preemfazy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

14 Modele liniowe H(f) [dB] f [dek] Charakterystyka log-log a-cz10 1 2 3 4 -2 -1 f [dek] H(f) [dB] Charakterystyka log-log a-cz filtru preemfazy f2/f1=100 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

15 Modele nieliniowe Prawo Webera-FechneraW modelach nieliniowych reakcja układu na złożony sygnał wejściowy nie jest sumą reakcji składowych. Prawo Webera-Fechnera Zmiana wrażenia jest wprost proporcjonalna do względnej zmiany bodźca. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

16 Modele z parametrami skupionymiW układach z parametrami skupionymi energia jest gromadzona (tracona) w izolowanych punktach układu, a sygnały z punktu do punktu przenoszą się bezzwłocznie. R C r „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

17 Modele z parametrami rozproszonymiW układach z parametrami rozproszonymi energia jest gromadzona (tracona) w każdym punkcie układu, a sygnały z punktu do punktu przenoszą się z opóźnieniem. linie elektroenergetyczne sieć koncentryczna telewizji kablowej CATV sieć dostępowa DSL (Digital Subscriber Line) obwody drukowane PCB (> 100 MHz) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

18 Modele deterministyczneW modelach deterministycznych zmienność sygnału przedstawiamy w sposób funkcyjny czy tabelaryczny, co umożliwia precyzyjne określenie przyszłych wartości sygnału. Sygnał dwuwstęgowej modulacji amplitudy AM „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

19 Modele losowe + – Graf przejść dla kodu MilleraW modelach losowych nie można przedstawić zmienności sygnału w sposób funkcyjny czy tabelaryczny; zmienność sygnału charakteryzujemy w sposób probabilistyczny. + – Graf przejść dla kodu Millera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

20 Kod Millera + – 1 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

21 Kod Millera + – S()  Widmo gęstości mocy kod bipolarny (NRZ)kod bifazowy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

22 Układy liniowe i stacjonarne (ULS)Liniowość Stacjonarność „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

23 Wymuszenie wykładniczeULS Liniowość Stacjonarność „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

24 Wymuszenie wykładniczeULS Jedynym rozwiązaniem równania funkcyjnego: jest sygnał wykładniczy: o amplitudzie H(s) uzależnionej od stałej s  C. Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem liniowych układów stacjonarnych (ULS). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

25 Wymuszenie wykładniczeULS Załóżmy, że istnieje dodatkowe, „niewykładnicze” rozwiązanie v(t) równania funkcyjnego, a więc: Odejmujemy obustronnie tożsamość: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

26 Nie otrzymujemy nowych rozwiązań (co kończy dowód):Wymuszenie wykładnicze Stwierdzamy, że: Wnioskujemy zatem, że: Nie otrzymujemy nowych rozwiązań (co kończy dowód): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

27 Transmitancja ULS ULS Transmitancja:jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia; transmitancja może być interpretowana jako „wzmocnienie” ULS. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

28 Impedancja ULS  (R, L, C) ULS R C LImpedancja (transmitancja napięciowo-prądowa): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

29 Admitancja ULS  (R, L, C) ULS R C LAdmitancja (transmitancja prądowo-napięciowa): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

30 Transmitancja ULS ULS Modelem matematycznym liniowych układów stacjonarnych (o parametrach skupionych) są równania różniczkowe (zwyczajne, liniowe, o stałych współczynnikach, niejednorodne): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

31 Wyznaczamy transmitancję: Transmitancja jest funkcją wymierną:Transmitancja ULS Wyznaczamy transmitancję: Transmitancja jest funkcją wymierną: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

32 Transmitancja ULS  (R, L, C)Przy wyznaczaniu transmitancji ULS  (R, L, C) korzystamy z szeregu twierdzeń: szeregowe połączenie impedancji, równoległe połączenie impedancji, prądowe prawo Kirchoffa, napięciowe prawo Kirchoffa, twierdzenie Thevenina, twierdzenie Nortona, wzajemne transformacje źródeł prądowych oraz źródeł napięciowych. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

33 Filtr preemfazy R 1/Cs r x(t) y(t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

34 Wyznaczanie odpowiedzi ULSyp(t) - składowa przejściowa (swobodna), zanikająca do zera, wynikająca z warunków początkowych yw(t) - składowa wymuszona zależna od wymuszenia x(t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

35 równanie charakterystyczneSkładowa przejściowa ULS równanie charakterystyczne z1, z2,...,zm - pojedyncze pierwiastki rzeczywiste równania charakterystycznego „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

36 Składowa wymuszona ULS ULSDekompozycja dowolnego sygnału x(t) na składowe wykładnicze Xnexp(snt) pozwala wyznaczyć odpowiedź ULS na dowolny sygnał wejściowy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

37 Przekształcanie sygnału harmonicznego w ULSOdpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne: ULS „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

38 Wymuszenie harmoniczneULS Transmitancja H(j) jako funkcja wymierna spełnia warunek symetrii hermitowskiej: a w zapisie wykładniczym: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

39 Wymuszenie harmoniczneULS Odpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne: A() - charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa () - charakterystyka fazowo-częstotliwościowa Cha-ka a-cz A() jest funkcją parzystą, A() = A(-) Cha-ka f-cz () jest funkcją nieparzystą, () = - (-) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

40 Filtr preemfazy R 1/Cs r x(t) y(t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

41 Filtr preemfazy Charakterystyka log-log a-cz10 1 2 3 4 -2 -1 f [dek] H(f) [dB] Charakterystyka log-log a-cz filtru preemfazy f2/f1=100 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

42 Filtr Butterwortha cha-ka a-cz n = 2, fg = 1 kHz10 -2 2 4 6 -4 -200 -150 -100 -50 cha-ka a-cz n = 2, fg = 1 kHz cha-ka f-cz n = 2, fg = 1 kHz „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

43 Filtr Butterwortha Filtry Butterwortha cechują się maksymalnie płaską cha-ką a-cz w pasmie przewodzenia oraz zaporowym. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

44 Filtr Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa:Poziom fluktuacji A2() w pasmie przewodzenia: Cha-ka a-cz filtru Czebyszewa opada szybciej aniżeli cha-ka a-cz filtru Butterwortha (tego samego rzędu). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

45 Filtr Czebyszewa n = 6 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

46 Podsumowanie Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem liniowych układów stacjonarnych (ULS). Transmitancja ULS jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia. Modelem matematycznym ULS (o parametrach skupionych) są równania różniczkowe. Transmitancja ULS zbudowanego z elementów (R, L, C) może być wyznaczona z parametrów równania różniczkowego lub z wykorzystaniem twierdzeń teorii obwodów. Odpowiedź dowolnego układu (R, L, C) na sygnał harmoniczny jest sygnałem harmonicznym o takiej samej częstotliwości; amplitudę oraz fazę można wyznaczyć z transmitancji układu (R, L, C). Amplituda odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne jest określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową. Faza odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne jest określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir