1 System lingwistyczny - wnioskowanieWnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza wnioski w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opartym o reguły jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973) Złożeniowa reguła wnioskowania - analogie z klasyczną analizą Zadania: a) znaleźć wartość b opowiadającą wartości a przy zadanym odwzorowaniu f punktowym b) znaleźć przedział b odpowiadający przedziałowi a przy zadanym odwzorowaniu f przedziałowym

2 Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)

3 Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) I implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna)

4 Przykłady implikacji rozmytej klasycznej:- implikacja Łukasiewicza - implikacja Kleene-Diene

5 I implikacja rozmyta w sensie inżynierskim:implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja relacja może być odwrócona (jest symetryczna) Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

6 - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważańZłożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) Niech: - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań - zbiór rozmyty określona na przestrzeni rozważań oraz: - funkcja przynależności pary do relacji rozmytej - funkcja przynależności do zbioru rozmytego Pamiętając, że: wynik złożenia zbioru A oraz relacji F rzutowany na przestrzeń Y jest określony

7 Używając t-normy min dla operacji przecięcia:i rzutując to przecięcie na przestrzeń Y otrzymamy funkcję wyniku złożenia w tej przestrzeni Zbiór B możemy zatem wyrazić:

8 Ilustracja: Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczneRelacja rozmyta F Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Przecięcie F i A Projekcja przecięcia F i A na przestrzeń Y Zadanie: Dana relacja rozmyta F na przestrzeni rozważań XxY oraz zbiór rozmyty A na przestrzeni rozważań X Znaleźć wynik złożenia relacji F i zbioru A określony w przestrzeni rozważań Y

9 Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

10 Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

11 Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) „A pociąga za sobą B” - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) „A powiązane z B” – operacja przecięcia realizowana t-normą

12  Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

13 Realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte – systemy czystej logiki rozmytej  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego – systemy z rozmywaniem i wyostrzaniem

14 Podejście formalne 1. Przedstaw każdą regułę IF-THEN jako relację rozmytą 2. Zagreguj posiadane relacje w jedną reprezentatywną dla całej bazy reguł 3. Mając określone wejście, użyj reguły złożeniowej dla określenia odpowiadającego mu wyjścia

15 Wnioskowanie z jedną regułą1. Oblicz funkcję przynależności relacji implikacji 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Przykład graficzny:

16 Praktycznie obliczenia relacyjne mogą być prowadzone w dyskretnych przestrzeniach rozważańPrzykład: Rozważmy regułę: ze zbiorami rozmytymi A oraz B danymi Niech zbiór rozmyty wejścia

17 Używając t-normy min (implikacja Mamadaniego) macierz relacji RM reguły IF-THEN otrzymujemy w postaci

18 Zbiory wejścia: przesłanki A i faktu A’Stosując regułę złożeniową wnioskowania obliczymy zbiór wyjścia

19 Wybierając ponownie zastosowanie t-normy min jako operatora przecięcia obliczymy je dla aktualnego zbioru wejścia i relacji

20 Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

21 Używając operatora implikacji Łukasiewiczaotrzymamy macierz relacji RŁ reguły IF-THEN w postaci

22 Wybierając zastosowanie jako operatora przecięcia t-normę Łukasiewicza

23 Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

24 Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania!Implikacja inżynierska Implikacja klasyczna - Przyjmuje wartość zero kiedy tylko przesłanka lub konkluzja, bądź obydwie nie są prawdziwe Przyjmuje wartość zero tylko, kiedy przesłanka jest prawdziwa, a konkluzja nie Kiedy przesłanka nie jest prawdziwa, przyjmuje wartość 1 niezależnie od wartości konkluzji Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania!

25 Wnioskowanie z wieloma regułami1. Oblicz relację implikacji dla każdej z relacji 2. Zagreguj relacje Ri w jedną całościową 3. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’

26 Agregacja reguł Baza reguł jest przedstawiana za pomocą agregacji relacji Ri odpowiadających poszczególnym regułom w pojedynczą relację  Jeżeli Ri jest typu „A pociąga za sobą B” (implikacja w sensie klasycznym) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora przecięcia poszczególnych relacji Ri (operatora t-normy)  Jeżeli Ri jest typu „A powiązane z B” (implikacja inżynierska) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora połączenia poszczególnych relacji Ri (operatora s-normy)

27 Dyskretyzacja przestrzeni rozważańPrzykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji Wartość lingwistyczna Element dziedziny 1 2 3 Low 1.0 0.6 0.0 OK 0.4 High 0.1 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 25 50 75 100 Low 1.0 0.6 0.0 High 0.3 0.9

28 Baza reguł: Dziedziny lingwistyczne reguł: R1: LowxLow; R2: OKxHigh; R3: HighxLow; Macierze implikacji dla poszczególnych reguł: wybieramy t-normę MIN: R1: LowxLow

29 R2: OKxHigh R3: HighxLow

30 Agregacja reguł:

31 Relacje reguł graficznie i ich agregacja – graficzna ilustracja (większa rozdzielczość dyskretyzacji przestrzeni rozważań): R1: LowxLow R = R1R2R3 R2: OKxHigh R3: HighxLow

32 Grafik/wykres rozmytyWykres rozmyty modelu lingwistycznego z przykładu. Ciemniejsze zacieniowanie odpowiada większemu stopniowi przynależności. Linia ciągła jest możliwą funkcją punktową reprezentującą podobną relację jak model rozmyty

33 Wnioskowanie Niech zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

34 Wybieramy t-normę złożenia - MIN:Approximately Low

35 Niech teraz zbiór rozmyty wejścia- Approximately OK (mniej więcej OK)

36 Wybieramy t-normę złożenia - MIN:Approximately High

37 konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnychNiedogodność metody formalnej: konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Można pokazać, że dla przypadków 1. korzystania do reprezentacji reguł z implikacji rozmytych i dla punktowych (crisp) wejść 2. korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych schemat wnioskowania może być uproszczony przez ominięcie obliczeń relacyjnych

38 Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzwDla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych uproszczenia te prowadzą do powszechnie znanego schematu wnioskowania nazywanego wnioskowaniem Mamdaniego Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London