1 Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicoweSystemy dynamiczne Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach
2 Modele wejście – wyjścieSystem ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:
3 Modele przestrzeni stanuSystem ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania
4 System dyskretny; model przestrzeni stanuJeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania
5 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedziPoszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS) Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie wyjścia
6 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej sOdpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej s
7 Kluczowy problem – obliczenie- macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej s
8 Funkcja przejścia - transmitancjaZwiązki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja Otrzymujemy:
9 Poszukujemy rozwiązańSystem dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Przyjmuje się: Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie czasu
10 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej zOdpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej z
11 Obliczenie macierzy tranzycji stanuJest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy I sposób – z rozwiązania odpowiedzi stanu II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej z
12 Funkcja przejścia - transmitancjaZwiązki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wyjście Wejście Transmitancja systemu dyskretnego
13 Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunówStosowane dalej oznaczenia System MIMO Przy czym: wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar oraz rząd ; rząd Przy ekstrapolacji zerowego rzędu i czasie zatrzaśnięcia Ts jeżeli istnieje
14 : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru ,Sformułowanie problemu Zasadniczo rozważa się przypadki, kiedy gdzie: : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor stanu, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : wektor wejścia, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wejścia, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor wyjścia lub obserwacji, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wyjścia lub obserwacji, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.
15 Zadanie sterowania: System będący w chwili początkowej ( dla systemów stacjonarnych) w stanie początkowym , należy przeprowadzić do pożądanego stanu końcowego, lub operacyjnego , zapewniając w stanie przejściowym spełnienie określonych wymagań dynamicznych takich jak np. czas narastania, przeregulowania, oscylacyjność … . Po osiągnięciu stanu operacyjnego , wartość wyjścia musi być zwykle równa narzuconej wartości zadanej
16 Propozycja rozwiązania – z zastosowaniem sprzężenia w przód:Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Przesłanie zwrotne wektora stanu na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego od stan działanie regulacyjne Przesłanie w przód wektora wartości zadanej na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia w przód działanie śledzące
17 Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)
18 Równania opisujące system zamknięty:Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia
19 Przypomnienie: na system działają dwie wielkości zewnętrzne- stan początkowy - sygnał wartości zadanej Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania
20 Przypadek ciągły – działanie regulacyjneDziałanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności i osiągnięcie stanu równowagi
21 Macierz jest stałą macierzą o wymiarze i nazywana jest macierzą wzmocnień sterownikaCechy: - w skrajnym przypadku ma elementów, - jako macierz stała związana ze stanem pełni rolę sterownika proporcjonalnego - poprzez związek pełni też rolę sterownika różniczkującego - nie daje sprzężenia o charakterze całkującym
22 Przypadek ciągły – działanie śledząceDziałanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia
23 Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)Rozwiązanie - struktura Przypadek dyskretny: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Opóźnienie
24 Równania opisujące system zamknięty:Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia
25 Przypadek dyskretny – działanie regulacyjnePodobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze stanu początkowego w stan końcowy
26 Przypadek dyskretny – działanie śledząceDziałanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia
27 Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny
28 Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanuMetoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym , przy przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia , gdyż brane jest ono pod uwagę przy projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień lub Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu
29 Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z
30 Warunki istnienia macierzyWszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności
31 Ogólna procedura wyznaczania macierzy LPrzy warunku równanie stanu systemu zamkniętego Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ
32 Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań() t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje: p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie
33 Przykład – mały silnik p. sPrzykład – mały silnik p.s. z obciążeniem inercyjnym i pomijalną indukcyjnością obwodu twornika i sztywnym wałem k = , L = 0 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia
34 Równania stanu w postaci macierzowej:Równania wyjścia w postaci macierzowej: Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS
35 Silnik używany do sterowania położeniem kątowym lub liniowymPrzykład – pozycjonowanie głowicy plotera Model w postaci nie-macierzowej Transformacja Laplace’a
36 Transmitancja operatorowa
37 gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnikaW wielu przypadkach
38 gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnikaW wielu przypadkach
39 Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętegoWówczas i Równania stanu dla tych warunków Chcemy umieścić wartości własne systemu zamkniętego w określonych miejscach Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego Linie stałej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań nietłumionych systemu rzędu drugiego
40 Wybierzmy Postulowany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Jest to też wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego Równania opisujące system zamknięty: Stąd Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego
41 Wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego wyrażony przez parametry systemuW przykładzie Stąd
42 Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznychi stąd Wybierając możemy określić Z klasycznej teorii: odwrotność stałej czasowej – pulsacja załamania
43 Dla systemu drugiego rzęduoraz Gdyby np. pulsacja drgań nietłumionych miałaby być pięciokrotnie większa od pulsacji załamania, a współczynnik tłumienia stąd i wzmocnienia
44 Schemat zbudowanego systemu sterowaniaSilnik
45 Propozycja rozwiązania – wykorzystanie działania całkującegoZastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania
46 Rozwiązanie - strukturaPrzypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej - poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne) - sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej
47 Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorówNiech system jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego
48 Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio
49 Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężeniaPełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia
50 Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanuOpis systemu rozszerzonego może być dany gdzie
51 Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanutak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne Rozwiązanie problemu – jak dla podejścia ze sprzężeniem w przód
52 Rozwiązanie – strukturaPrzypadek dyskretny: Opóźnienie
53 Wyście integratora (dyskretnego)gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)
54 Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanuPrawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi
55 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę