1 Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar

2 Szereg funkcyjny - definicjeSzereg, w którym wyrazy szeregu są funkcjami zmiennej x (an=fn(x)), czyli szereg postaci nazywamy szeregiem funkcyjnym. Funkcje f1(x), f2(x),…,fn(x),… nazywamy wyrazami szeregu funkcyjnego.

3 Szereg funkcyjny - definicjeSumą częściową Sn(x) szeregu funkcyjnego nazywamy sumę n-początkowych wyrazów szeregu funkcyjnego

4 Szereg funkcyjny - definicjeObszar zbieżności szeregu funkcyjnego jest to zbiór złożony z elementów x=a, które należą do wspólnej dziedziny wszystkich funkcji fn(x) i dla których szereg liczbowy jest zbieżny, tzn. istnieje granica sum częściowych Sn(a):

5 Szereg funkcyjny - definicjeFunkcję S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego i mówimy, że szereg ten zbiega do funkcji S(x). Resztą Rn(x) szeregu funkcyjnego nazywamy różnicę między sumą S(x) szeregu zbieżnego i jego sumą częściową Sn(x):

6 Szereg funkcyjny - przykładOkreślić sumę częściową i obszar zbieżności szeregu funkcyjnego:

7 Zbieżność jednostajna i punktowaSzereg funkcyjny jest w danym obszarze X zbieżny, jeśli dla dowolnej liczby >0 istnieje liczba naturalna N taka, że nierówność S(x)-Sn(x)< jest spełniona dla każdego n>N. Dla szeregów funkcyjnych możemy wyróżnić dwa przypadki: szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, jeżeli dla wszystkich wartości x z obszaru zbieżności istnieje jedna liczba naturalna N; szereg funkcyjny jest punktowo zbieżny, jeżeli dla każdego x istnieje w ogólności inna liczba naturalna N.

8 Kryterium WeierstrassaSzereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w pewnym obszarze X, jeżeli istnieje zbieżny szereg liczbowy taki, że dla wszystkich xX spełniona jest nierówność fn(x)an. Szereg liczbowy nazywamy majorantą szeregu funkcyjnego.

9 Różniczkowanie jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnychJeżeli wyrazy zbieżnego szeregu w przedziale [a,b] mają ciągłe pochodne f’n(x) oraz szereg jest jednostajnie zbieżny w przedziale [a,b], to

10 Całkowanie jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnychJeżeli szereg o wyrazach ciągłych w przedziale [a,b] jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to

11 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postacigdzie współczynniki an i x0 są ustalonymi liczbami. Szereg potęgowy jest ustalony gdy dana jest liczba x0 oraz ciąg (an) jego współczynników. Dla x0=0 szereg potęgowy ma postać:

12 Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennejCiągłą funkcję f(x) mającą w x=a pochodne wszystkich rzędów możemy przedstawić jako sumę szeregów potęgowych:

13 Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennejSzereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f(x) w otoczeniu punktu a, natomiast przedstawienie funkcji f(x) nazywamy rozwinięciem funkcji f(x) w otoczeniu punktu a. Rozwinięcie w szereg potęgowy jest poprawne, jeżeli ciąg reszt jest zbieżny do zera dla n.

14 Szereg Maclaurina Szereg Maclaurina otrzymujemy, rozwijając funkcję f(x) w szereg Taylora względem x w otoczeniu punktu dziedziny a=0. Wtedy a reszta wyraża się wzorem:

15 Wzory przybliżone dla pewnych funkcjiZawężając dziedzinę wielu funkcji do małego otoczenia pewnego punktu, posługując się wzorem Taylora, można wyprowadzić użyteczne rozwinięcia wielomianowe tych funkcji i tak dla x(-1,1) mamy:

16 Przykłady Obliczyć korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora następujące wartości: sin(-0,5) cos 0,5 e-0,3 ln 1,1

17 Dziękuję za uwagę