1 Tarea # 2 Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace: con las siguientes condiciones iniciales:

2 Tarea # 2 Graficar la solución obtenida mediante Laplace (t=0..2).Simular la ecuación diferencial en Simulink (t=0..2) y comparar la gráfica obtenida con el método de Laplace con la de Simulink.

3 Modelos matemáticos de sistemas físicos

4 Modelos matemáticos de sistemas físicosModelos matemáticos. Es un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema. Pueden adoptar muchas formas distintas, dependiendo del sistema y de las circunstancias especificas. Por ejemplo en problemas de control óptimo, sería útil una representación de estados y para los análisis de respuesta transitoria o en frecuencia de sistemas lineales SISO, una representación adecuada es la función de transferencia.

5 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistemas lineales. Es el que cumple con el principio de superposición, es decir, si se establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de 2 funciones diferentes es la suma de las dos respuestas individuales y que la entrada y salida son proporcionales, se dice que el sistema es lineal.

6 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistemas lineales e invariantes con el tiempo. Una ecuación diferencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente. Estos sistemas se denominan por sus siglas en inglés como sistemas LTI (Linear Time Invariant).

7 Modelos matemáticos de sistemas físicosFunción de transferencia. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial LTI se define como la razón entre la transformada de Laplace de la salida (respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (excitación). Bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

8 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema mecánico Sea el siguiente sistema de resorte, masa, amortiguador, donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte.

9 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema mecánico Considerese la entrada a la fuerza u(t) y como la salida al desplazamiento y(t) de la masa. Se supone que la fuerza en el amortiguador es proporcional a y’(t) y que la fuerza del resorte es proporcional a y(t).

10 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema mecánico Aplicando la segunda ley de Newton.

11 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema mecánico Tomando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial

12 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema eléctrico Ecuación integro-diferencial Transformada de Laplace

13 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema eléctrico Encontrar la función de transferencia del siguiente circuito RLC en paralelo, tomando a la salida como la corriente de carga y la entrada la fuente de corriente.

14 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema hidráulico La variable q representa el flujo de liquido, h el nivel del liquido, C la capacidad del tanque y R la resistencia al flujo del liquido.

15 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema hidráulico Obtener la función de transferencia tomando a la salida como la altura y la entrada el flujo q1.

16 Modelos matemáticos de sistemas físicosSistema hidráulico

17 Modelos matemáticos de sistemas físicosAnalogía eléctrica q -> i (corriente) C -> C (capacitancia) h -> V (voltaje) R -> R (resistencia)

18 Modelos matemáticos de sistemas físicosObtener el equivalente eléctrico del siguiente sistema hidráulico

19 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Para representar un sistema en un diagrama a bloques se hace a partir de su modelo matemático expresado en Laplace

20 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Punto suma Puede tener un máximo de tres entradas y una salida.

21 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Bloque Contiene la función de transferencia que multiplica la señal que entrada para obtener la salida.

22 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Puntos de ramificación o bifurcación Se mantiene presente la señal en los puntos desprendiendose de el ramificaciones.

23 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Si Q1 es una entrada impulso unitario, cuya transformada de Laplace es 1, entonces la salida es G(s), es decir; la función de transferencia de cualquier sistema es la respuesta al impulso unitario.

24 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Diagrama a bloques en un sistema de lazo cerrado

25 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Función de transferencia en lazo abierto Función de transferencia de la trayectoria directa

26 Modelos matemáticos de sistemas físicosDiagrama de bloques Función de transferencia en lazo cerrado

27 Modelos matemáticos de sistemas físicosObtener el diagrama a bloques y su función de transferencia a partir del diagrama y de las ecuaciones.

28 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

29 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

30 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

31 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

32 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

33 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

34 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

35 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

36 Modelos matemáticos de sistemas físicosAlgebra de bloques

37 Modelos matemáticos de sistemas físicosEjemplo

38 Modelos matemáticos de sistemas físicosCont...

39 Modelos matemáticos de sistemas físicosObtener la función de transferencia mediante el uso del álgebra de bloques