1 Tema 2 Formulación de modelos

2 Tema 2. Formulación de modelos 1.Qué es un modelo  Tipos de modelos  Modelos matemáticos 2.Metodología de modelado 3.Ejemplos  Modelos continuos  Modelos discretos Bibliografía: Por ejemplo: F. NEELAMKAVIL, Computer simulation and modeling, 1994. Capítulo 3 (y 4).

3 ¿Qué es un modelo? Representación simplificada de un sistema que permite mejorar nuestra capacidad de  entender  describir  predecir y/o  controlar su comportamiento.

4 ¿Qué es un modelo? Representación…  Un modelo es un retrato del sistema “Confundir un modelo con la realidad sería como ir a un restaurante y comerse la carta” Simplificada  Un buen modelo es una caricatura del sistema  Reconocible  Evita los rasgos superfluos  Identifica los rasgos relevantes

5 ¿Qué es un modelo? Ejemplos: Regla para una serie (ej.: udtccssondodtcq…) Esquema de un circuito digital combinacional Circuito equivalente de una célula fotovoltaica Distribución normal de probabilidad La luz: modelo ondulatorio, corpuscular o los dos Modelos en ajedrez (puntos de las piezas; desarrollo en la apertura; estructura de peones, columnas abiertas, fortaleza en blancas o en negras; finales de peones; material necesario para mate)

6 Tipos de modelos Muchas clasificaciones posibles. Por ejemplo:  Mentales  “Físicos”: maquetas, prototipos, etc.  Simbólicos: ‒ Verbales. Ej.: “Más vale pájaro en mano…” ‒ Gráficos. Ej.: dibujos, gráficas ‒ Esquemáticos. Ej.: diagramas de flujo, esquema de circuito, layouts ‒ Matemáticos. ‒ (o combinación de los anteriores)

7 Modelos matemáticos (I) Representables matemáticamente  cuantitativos –Se expresan con fórmulas. Ej.: E = m 0 c 2 –Aunque, por lo general, lo más importante es la idea subyacente. Según su fundamentación (¿de dónde salen?) –Empíricos : descripción de los datos “experimentales” –Teóricos: deducción a partir de conceptos o ideas. –Semi-empíricos: como los teóricos, pero con parámetros de ajuste.

8 Modelos matemáticos (II) Según las variables: continuos o discretos Según las ecuaciones: lineales o no lineales Según la dependencia temporal: estáticos o dinámicos Según su naturaleza (aleatoriedad): deterministas o estocásticos Según la resolución de las ecuaciones: analítica o numérica

9 Metodología de modelado ¿Cómo elaborar modelos? Motivación y objetivos Requerimientos (¿cuantitativo?). ¿Qué queremos entender, predecir o controlar…? ¿para qué? ¿en qué condiciones? ¿cómo de bien? ¿Qué dicen los datos? ¿Qué parece que pasa? ¿Qué dicen otros que pasa? Vamos a suponer que aquí lo que pasa es que… (Modelo conceptual: la idea) Si lo que pasara fuera eso también tendría que ocurrir que… Y tal variable valdría… (Modelo matemático: “la fórmula”) ¿Es lógico y coherente? ¿Predice bien los casos obvios? ¿La metodología ha sido adecuada? ¿Tenemos datos suficientes? ¿Se adecúa a los objetivos? ¿Se ajusta a los datos? ¿También a datos nuevos? ¿Estamos “suficientemente” seguros de que ocurre así? Análisis del sistema Inspección de datos Identificar parámetros y variables. Estudio de información relacionada Formulación de hipótesis Especificar rango de aplicabilidad Diseño de experimentos Inferencia Deducción de consecuencias P. ej.: Formulación matemática, resolución o simulación numérica y predicciones cuantitativas Certificación (interna o externa) SI Documentación SI NO Validación interna NO Validación (“falsación”) SI NO

10 Motivación y objetivos Definir el problema Requerimientos –Tipo de modelo ¿cuantitativo? (¿y hasta qué punto: “tendencia” o “ajuste”?) grado de predictibilidad ¿orientado a optimización? –Rango de aplicabilidad Luego quizá se pueda generalizar El arte de despreciar lo despreciable –¿Cómo de bien? Basta con resolver el problema… Lo que no hay que hacer: el boli de la NASA

11 Análisis del sistema Inspección de datos: –En ocasiones con análisis estadístico. Identificar parámetros y variables. –Seleccionar los aspectos relevantes: elegir las preguntas (ej.: “artículo de Newton”) Información relacionada: –Estudio bibliográfico –Conocimientos previos, técnicas y recursos disponibles, etc.

12 Formulación matemática (I): Modelos empíricos  Descripción de los datos experimentales Criterios:  Sencillez  Bondad del ajuste  Mínimo número de parámetros  Parámetros fácilmente interpretables (  conclusiones) Limitaciones:  Válidos sólo para las situaciones observadas Ejemplo: Telefonía e internet en el mundo

13 Formulación matemática (II): Modelos teóricos  Deducción a partir de ideas (teoría) Criterios:  Solidez del razonamiento  Adecuación a la realidad (a los datos o, al menos, a sus tendencias). Limitaciones:  Complejidad conceptual  Capacidad de ajuste limitada (difícil sin parámetros ajustables…) “Los resultados teóricos no se los cree nadie excepto el que los obtiene, mientras que los resultados experimentales se los creen todos excepto el que los obtiene”

14 Formulación matemática (III): Modelos semi-empíricos  Deducción, pero con parámetros ajustables Criterios:  Simplificaciones razonables (e identificadas)  Capacidad de predicción  Mínimo número de parámetros  Parámetros con significado físico Limitaciones:  Validez limitada debido a parámetros ajustables Ejemplos:  Modelos de población Degradación de iso-α-ácidos

15 Métodos de resolución Resolución analítica (la solución es una fórmula) “Generalidad” Mensaje más claro No sujeto a ruido Sin coste computacional  Dificultad conceptual  No siempre hay solución analítica  Imposible en situaciones complejas Resol. numérica o simulación (solución computacional aproximada) Menor esfuerzo conceptual Posible aun sin solución analítica Factible en situaciones complejas  Resultado válido sólo para cada caso  No da idea directa de causas y dependencias  Coste computacional  Problemas de ruido y convergencia: Necesidad de analizar los datos… calculados (Ver Tema 3 y Bloque III) (para modelos semi-empíricos o teóricos)

16 Ejemplo: Modelos de población Modelo 1: Hipótesis: - Distribución invariante de edades y sexos –No inmigración/emigración Evolución temporal de la población N(t): Otras posibilidades:  No válido (no es lo que ocurre) complicado…

17 Ejemplo: Modelos de población Modelo 2: incluyendo auto-inhibición (modelo “logístico”) Positivo:  Buen ajuste a los datos Limitaciones:  No clara relación con parámetros medibles  Predicción “a posteriori”…  No información de edades, etc…

18 Ejemplo: Modelos de población Modelo 3: Interacción parásito-anfitrión (Modelo de Lotka-Volterra) Hipótesis:  El parásito crece gracias al anfitrión pero inhibe su crecimiento  El efecto de auto-inhibición es poco importante Oscilación de población (la del parásito con retardo)

19 Modelos semi-empíricos Ejemplo: Degradación de los iso-α-ácidos de la cerveza Provenientes del lúpulo Responsables del amargor típico de la cerveza Se degradan a temperatura ambiente (conservación en refrigeración) Medidas experimentales de concentración mediante cromatografía de líquidos concentraciones al cabo de 15 días de degradación a diversas temperaturas

20 Ejemplo: Degradación de los iso-α-ácidos de la cerveza ¿Qué está pasando “microscópicamente”? ¿Cómo quedarían las curvas C vs T para t =7 días o 1 mes? ¿Cuánto durará la cerveza a 4ºC? ¿y a 50ºC? ¿Cuáles serían las mejores condiciones experimentales para hacer las medidas con precisión? Querríamos saber:

21 Ejemplo: Degradación de los iso-α-ácidos de la cerveza Modelo: Degradación térmica, donde: Inferencias:  Los parámetros del modelo (v 0 y E) se pueden deducir de los datos experimentales:  Tiempo de degradación (al 50%):  Errores en el ajuste de v(T):  error grande para C  0 y C  C ini  Verificación de C(15días, 4ºC)  C inicial

22 Ejemplo: Microbolómetro Cámaras que detectan radiación infrerroja Cada píxel es una “mesa” que se calienta al absorber IR La temperatura de cada mesa se mide con una RDT y un puente de Wheatstone

23 Ejemplo: Microbolómetro ¿De qué depende la sensibilidad de esta cámara? ¿Mejora refrigerándola? ¿ De qué depende su tiempo de respuesta? ¿Cómo se puede conseguir aumentar simultáneamente su sensibilidad y su rapidez?  Conviene disminuir c i.e.: disminuir espesor  

24 Ejemplo: Ecuaciones de difusión Difusión: flujo de donde hay más a donde hay menos Balance: Si hay arrastre y desaparición: difusión arrastre desaparición

25 Modelos continuos y modelos discretos Variables continuas o variables discretas –Ejemplos en modelos de población Modelos discretos: –Eventos discretos asociados habitualmente a probabilidades –Ecuaciones en diferencias en vez de ecuaciones diferenciales –Mayor versatilidad –Más “microscópico” –Menos herramienta matemática –Mayor gasto computacional