1 Tema 7: Integración numéricaÍndice Introducción Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio Fórmulas de Newton Cotes Fórmulas cerradas Fórmulas abiertas Fórmulas de Newton Cotes compuestas

2 Integración numérica. IntroducciónSe aproxima el valor de una integral definida mediante el cálculo una fórmula. I representa el valor aproximado de la integral definida. E(f) representa el error cometido al considerar un valor aproximado de la integral Representa la fórmula de integración numérica también llamada fórmula de cuadratura.

3 Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorioSe obtienen sustituyendo la función f(x) por un polinomio interpolador p(x) en el intervalo [a,b]. Considerando el polinomio interpolador de Lagrange:

4 Fórmulas de Newton - CotesSon fórmula de integración de tipo interpolatorio obtenidas integrando polinomios de interpolación p(x) con nodos igualmente espaciados en el intervalo [a,b]. a b x0 x1 x2 xn-1 xn h x x=x0+th 1 2 t n-1 n Cerradas: Los extremos del intervalo de integración forman parte del conjunto de nodos empleados para calcular el polinomio p(x). Abiertas: Los extremos del intervalo de integración no forman parte del conjunto de nodos empleados para calcular el polinomio p(x).

5 Fórmulas de Newton – Cotesb x0 x1 x2 xn-1 xn h x x=x0+th 1 2 t n-1 n Se utilizan los polinomios interpoladores de Newton con diferencias finitas. Los límites de integración en variable t dependen del tipo de fórmula utilizada si es abierta o cerrada.

6 Fórmulas de Newton – Cotes cerradasn=1 Regla del trapecio. n=2 Primera regla del Simpson

7 Fórmulas de Newton – Cotes abiertasx0 x1 xn h x x=x0+th 1 t n -1 n+1 n=0 Regla del punto medio.

8 Fórmulas de Newton – Cotes.Cálculo del error. El error se calcula : Debido a que los nodos está igualmente espaciados se presentan dos situaciones: n impar: El error depende de n par: El error depende de

9 Fórmulas de Newton – Cotes.Cálculo del error. Ejemplo n impar: Formula cerrada n=1: Ejemplo n par: Formula cerrada n=2:

10 Fórmulas de Newton – Cotes compuestasCuando el intervalo [a,b] es de tamaño grande o se dispone de muchos nodos en dicho intervalo se utilizan fórmulas de integración compuestas para evitar los problemas de oscilación en polinomios interpoladores de grado alto. a b I 1 2 N El error cometido calcula: