1 Tema: Ecuaciones LinealesObjetivo General: Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera Objetivos específicos: Reconocer una ecuación de primer grado. Reconocer y comprobar mediante ejercicios simples si un número es solución de una ecuación lineal. Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante una ecuación de primer grado con una variable.

2 Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable, que ahora recibirá el nombre de incógnita. Conjunto solución de una ecuación (C. S.): Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío ∅ . CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES: A las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones podemos clasificarlas en: Ecuaciones compatibles: Son aquellas que poseen al menos una solución. Estas pueden ser: a) Determinadas: Una ecuación es compatible determinada si es posible determinar la cantidad de sus soluciones. b) Indeterminadas: Una ecuación es compatible indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones. Ecuaciones incompatibles (Inconsistentes): Son aquellas ecuaciones que no poseen soluciones, su conjunto solución 𝑪𝑺=𝝓.

3 Ecuación Lineal: Una ecuación lineal es una igualdad que puede escribirse de la forma 𝒂𝒙+𝒃=𝟎 con raíz 𝒙=− 𝒃 𝒂 donde 𝒂,𝒃 𝝐 ℝ , si 𝒂≠𝟎 es determinada, Si 𝒂=𝟎, 𝒃=𝟎 indeterminada, y si 𝒂=𝟎, 𝒃≠𝟎 incompatible. Valor absoluto: El valor absoluto de un número real x, se define como aquel número real no negativo que se denota por 𝒙 , donde: 𝒙 = 𝒙 𝒔𝒊 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒐 𝒄𝒆𝒓𝒐. −𝒙 𝒔𝒊 𝒙 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. El resultado de aplicar valor absoluto a una expresión matemática nos dará como resultado siempre una expresión positiva. En tal sentido, revisar los siguientes teoremas en el formulario.

4 Enunciados abiertos para problemas aplicados FORMA SIMBÓLICA Forma Verbal FORMA SIMBÓLICA 1) Un número aumentado en 4 𝒙+𝟒 2) Un número disminuido en 9 𝒙−𝟗 3) El doble de un número 𝟐𝒙 4) El quíntuplo de un número 𝟓𝒙 5) La mitad de un número 𝒙 𝟐 6) La cuarta parte de un número 𝒙 𝟒 7) El doble de un número aumentado en 3 2 𝒙+𝟑 8) El doble de un número, aumentado en tres 𝟐𝒙+𝟑 9) La edad de Juan hace 8 años 𝒙−𝟖 10) La edad de Doris dentro de 5 años 𝒙+𝟓 11) La suma de tres números consecutivos es 18 𝒙+ 𝒙+𝟏 + 𝒙+𝟐 =𝟏𝟖 12) La suma de dos números pares consecutivos es 26 𝒙+ 𝒙+𝟐 =𝟐𝟔 13) El doble de la edad de David aumentado en 5 años es 15 𝟐𝒙+𝟓=𝟏𝟓 14) El dinero que tiene Julio disminuido en $ 60 es igual a $190 𝒙−𝟔𝟎=𝟏𝟗𝟎 FORMA SIMBÓLICA FORMA VERBAL 1) 𝟑𝒙 El triple de un número o tres veces un número 2) 𝒙 𝟐 +𝟕 El cuadrado de un número aumentado en siete 3) 𝒙+𝟕 𝟐 4) 𝒙 𝒙+𝟐 El producto de dos números pares consecutivos 5) 𝟐𝒙 𝟑 El cubo del doble de un número 6) 𝒙+𝒚+𝒛 La suma de tres números 7) 𝟑𝒙 𝟓 Las tres quintas partes de un número 8) 𝟒𝒙 𝟑 El cuádruplo del cubo de un número 9) 𝟑𝒙+𝟒 El triple de un número, aumentado en cuatro 10) 𝟑 𝒙+𝟒 El triple de un número aumentado en cuatro

5 Descomposición de unidades: 𝟏) 𝒂𝒃=𝟏𝟎𝒂+𝒃 𝟐) 𝒂𝒃𝒄=𝟏𝟎𝟎𝒂+𝟏𝟎𝒃+𝒄 𝟑) 𝒂𝒃𝒄𝒅=𝟏𝟎𝟎𝟎𝒂+𝟏𝟎𝟎𝒃+𝟏𝟎𝒄+𝒅PROBLEMAS DE EDADES Los problemas de edades son un tipo particular de planteo de ecuaciones las cuales están relacionados con años de existencia y tiempo en pasado, presente y futuro. Casos I. Cuando se tiene una sola persona: Pasado hace "𝒂" años Presentes Futuro dentro de "𝒂" años 𝑥−𝑎 𝑥 𝑥+𝑎

6 Casos II. Cuando se tiene dos personas: Pasado hace "𝒂´´ años. presente Futuro dentro de "𝒂" años Yo 𝑦−𝑎 𝑦 𝑦+𝑎 Tu 𝑥−𝑎 𝑥 𝑥+𝑎 Para este cuadro se cumple lo siguiente: 1) La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo; es decir: 𝑦−𝑎 − 𝑥−𝑎 =𝑦−𝑥= 𝑦+𝑎 − 𝑥+𝑎 =𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 . 2) La suma en aspa de los valores extremos simétricos son iguales, es decir: a) 𝑦−𝑎 +𝑥= 𝑥−𝑎 +𝑦 b) 𝑦+ 𝑥+𝑎 =𝑥+ 𝑦+𝑎

7 I. Realizaremos los ejercicios de la página #116 del texto sugerido en el curso:11) 7 𝑦+1 −2=5 𝑦+1 +2 29) 2𝑡−1 2 =4 𝑡 2 +1 41) 3 𝑥 + 5 − 1 𝑥 − 2 = 7 𝑥 𝑥 − 10 43) 𝑞 𝑞 − 3 − 6 𝑞 2 − 2𝑞 − 3 =1 II. Resolveremos los problemas aplicados de la página #124 del texto. 3) Encuentre tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48. 5) En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. ¿ Cuántos años tiene? Algebra, Trigonometría y geometría Analítica Dennis G.Zill y Jacqueline M.Dewar.3ra. Edición.2012

8 Desigualdades *Definición *Propiedades *Solución de una desigualdad lineal con una variable. Desigualdades: Es la relación de orden que existen entre dos cantidades, éste se representa con los símbolos menor que < , mayor que > , 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 ≤ Y mayor o igual ≥ . Propiedades de las desigualdades: Sean 𝑎,𝑏,𝑐𝜖ℝ Si 𝑎>𝑏 𝑦 𝑏>𝑐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎>𝑐 Si 𝑎>𝑏, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 𝑦 𝑎−𝑐>𝑏−𝑐 Si 𝑎>𝑏 𝑦 𝑐>0, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎∗𝑐>𝑏∗𝑐 𝑦 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐 Si a>𝑏 𝑦 𝑐<0, entonces 𝑎∗𝑐<𝑏∗𝑐 𝑦 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐

9 Solución de una desigualdad lineal con una variable:Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se procede de la misma manera como en una ecuación lineal, despejando la variable y tomando en consideración las propiedades de las desigualdades. Resolveremos los ejercicios del libro página 149 Encontrar el conjunto solución de los siguientes ejercicios: 21) 3 2 𝑥+4≤ ) 7<3− 1 2 𝑥≤8 23) 3 2 −𝑥>𝑥 ) −1≤ 𝑥 − 4 4 < 1 2 25) 2+𝑥≥3 𝑥−1

10 Resolución de ecuaciones lineales con valor Absoluto:Recordar: 1) 𝑥 =𝑐⇒𝑥=± 𝑐 ⇒𝑐𝑠: −𝑐,𝑐 ) 𝑥−𝑎 =𝑏⇒𝑥−𝑎=𝑏 𝑥−𝑎=−𝑏 ⇒𝑐𝑠: 𝑥 1 , 𝑥 𝑎= 𝑥 𝑥 𝑏= 𝑥 2 − 𝑥 1 2 Resolvamos ejercicios del texto página # 149 Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones: 1) 4𝑥−1 = ) − 3 2 𝑦 =1 Ejercicios de competencia: El producto de las soluciones de 𝑥−2 = es: b) c) d) e) 22 4 2) El solución de la ecuación 𝑥−2 =8 es: a) −6, b) −10, c) −8, d) − e) 10

11 Desigualdades con valor Absoluto:Propiedades: 1) 𝑆𝑖 𝑥 <𝑐 ⇒−𝑐<𝑥<𝑐⇒𝑐𝑠= −𝑐,𝑐 ) 𝑆𝑖 𝑥 >𝑐 ⇒𝑥>𝑐 ∪𝑥<−𝑐 ⇒𝑐𝑠= −∞,−𝑐 ∪ 𝑐,+∞ 3) 𝑆𝑖 𝑥−𝑎 <𝑏 ⇒−𝑏<𝑥−𝑎<𝑏 ) 𝑆𝑖 𝑥−𝑎 >𝑏 ⇒𝑥−𝑎>𝑏∪𝑥−𝑎<−𝑏 Resolveremos ejercicios de la página #153 del texto: Hallar el conjunto solución de los siguientes ejercicios: 13) 3+𝑥 > ) 2𝑥−7 ≤ ) 3𝑥 − 1 −4 <2 Ejercicios de competencia: 1) El conjunto solución de la desigualdad 2𝑥−1 <5 es: 𝑥<− b) 𝑥> c) −2<𝑥< d) 𝑥<−2 ⋀ 𝑥> e) 𝜙 2) El conjunto solución de la desigualdad 𝑥+1 ≥3 es: a) −∞ , − b) 2 , +∞ c) −4, d) −∞ , −4 ∪ 2 , +∞ e) ∅