1 Tema VI Límites y continuidadMATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

2 Apuntes Matemáticas 2º BCSCÁLCULO DE LÍMITES Tema * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

3 Propiedades de los LímitesSi lím (f(x) = p y lím g(x) = q xa xa a) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (f(x) ± g(x)) = p+q xa b) El límite de una constante por una función es la constante por el límite de f: lím k.f(x) = k. p c) El límite de un producto o división es el producto o división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = p / q , excepto que q=0 d) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) q lím (f(x)) = p f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím log f(x) = log lím f(x) = log p xa b b xa b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

4 Apuntes Matemáticas 2º BCSEjercicios Si lím (f(x) = y lím g(x) = 3 , calcula: x x2 a) lím (f(x) + g(x) – 4 ) = lím f(x) + lím g(x) – 4 = – 4 = 8 – 4 = 4 x x x2 b) lím 7.f(x) = 7. lím f(x) = 7.5 = 35 x x2 c) lím √ [ f(x) / g(x) ] = √ [ lím f(x) / lím g(x) ] = √ (5 / 3) = 5.√3 / 3 x x x2 d) g(x) lím (f(x)) = 5 = 125 x2 f) lím log f(x) = log lím f(x) = log = 1 / 2 x xa @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

5 De funciones polinómicasPara hallar el límite de una función polinómica, f(x)=P(x), en un punto se sustituye la variable por el valor de la abscisa. Lím f(x) = f(a) x  a EJEMPLOS Lím x – 3 = 2 – 3 = – 1 x  2 Lím x2 + x = = 9+3 = 12 x  3 Lím x3 +1 = (-1)3 + 1 = – = 0 x (-1) Lím x2 – 3x = – 3.0 = – 0 = 5 x 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

6 De funciones radicalesPara hallar el límite de una función radical, f(x)= √ P(x), en un punto se sustituye la variable por el valor de la abscisa. Pero no tiene sentido hallar el límite en un punto ajeno a su dominio. Lím f(x) = √ f(a) x  a EJEMPLOS Lím √ (x – 3) = √ (2 – 3) = √–  Mal, pues Dom f(x) = [3, oo). x  2 Lím √ (x2 – 5) = √ 32 – 5 = √ 4 = 2 x  3 Lím √ (x3 + 9) = √(-8+9) = √1 = 1 x (-2) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

7 De funciones troceadasx – 4 , si x <  Función lineal Sea f(x) = , si x ≥  Función constante Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2 Límite por la izquierda de x=2 Lím f(x) = Lím (x – 4) = 2 – 4 = – 2 x x2 Límite por la derecha de x=2 Lím f(x) = lím – 2 = – 2 x x2 El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale - 2. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

8 De funciones troceadasx2 – 4 , si x <  Función cuadrática Sea f(x) = x , si x ≥  Función lineal Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1 Límite por la izquierda de x=1 Lím f(x) = lím (x2 – 4) = 12 – 4 = – 3 x x1 Límite por la derecha de x=1 Lím f(x) = lím (x – 2) = 1 – 2 = – 1 x x1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

9 De funciones troceadasx – , si x <  Función lineal Sea f(x) = 1 / x , si x ≥  Función racional Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1 Límite por la izquierda de x= -1 Lím f(x) = lím (x – 2) = (– 1) – 2 = – 2 x x-1 Límite por la derecha de x= -1 Lím f(x) = lím (1 / x) = 1 /(– 1) = – 1 x x-1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función. Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

10 De cociente de funcionesUna función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero. Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) , simplificando la expresión. x  a EJEMPLOS x2 - x x . (x -1) Lím = Lím = Lím x – 1 = 0 – 1 = - 1 x  x x  x x  0 x (x + 3) . (x – 3) Lím = Lím = Lím x + 3 = 3+3 = 6 x  3 x – x  (x – 3) x  3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

11 Apuntes Matemáticas 2º BCSIndeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a) . C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím = Lím xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

12 Apuntes Matemáticas 2º BCSEjemplo 1 x lím ‑‑‑‑‑‑ = ‑----- = [---] = [ Factorizando por Rufinni…] x2 x (x -2) (x2 + 2x + 4 ) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = 12 x (x- 2) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

13 Apuntes Matemáticas 2º BCSEjemplo 2 x3 - 2 √ √ √ lím ‑‑‑‑‑---‑ = ‑ = [---] = [ Factorizando ..] x √ x – √ 2 √ √ √ 2 1 √ (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = = x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) √ √ √2 = 3. √2 / 2 NO hay que olvidarse de racionalizar si fuera necesario. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS

14 Apuntes Matemáticas 2º BCSEjemplo 3 x – lím ‑‑‑‑‑‑ = ‑ = [---] = [ Factorizando …] x1 x2 – 2x (x – 1 ).(x + 1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = oo x1 (x – 1).(x – – No existe límite en x=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS