1

2 Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowychDane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im Zespół Szkół Ogólnokształcących nr 5 im. Aleksandra Kamińskiego im. Skamandrytów Gimnazjum nr 17 w Żarach w Szczecinie ID grupy: ID grupy: 98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 Kompetencja: Fizyka i matematyka Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny: IV-V/2011/2012

3 Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

4 TEMATYKA: Potęgi służą do zapisywania w prostszej postaci liczb dużych i małych. Notacja wykładnicza to narzędzie używane do tego celu.

5 Cele projektu: Poznawanie i stosowanie notacji wykładniczej oraz twierdzeń dotyczących potęgowania liczb, Rozwijanie umiejętności posługiwania się potęgami, Korelacja matematyki z innymi naukami, Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, Rozwijanie umiejętności organizacji pracy własnej, Kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych.

6 Występujące pojęcia: Potęga o wykładniku naturalnym,Potęga o wykładniku całkowitym, Notacja wykładnicza, Potęga o wykładniku wymiernym, System dziesiątkowy, System dwójkowy.

7 Zakres i podział zadań Definicje i twierdzenia dotyczące potęgowania98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 Definicje i twierdzenia dotyczące potęgowania Liczby duże i małe w geografii Liczby duże i małe w botanice Liczby duże i małe w zoologii Definicje i twierdzenia dotyczące potęgowania Liczby małe i duże w przemyśle i budownictwie Liczby duże i małe w astronomii

8 Potęga o wykładniku naturalnymNiech aR, nN, wówczas: a0=1 dla a≠0 00 – nieokreślone a1=a

9 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnymNiech aR, a≠0, nN, wtedy potęgą a-n nazywamy odwrotność potęgi an:

10 Notacja wykładnicza Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą lub równą 1 i mniejszą od 10, a drugi jest potęgą liczby 10.

11 Dziesiętny system liczbowyDziesiętny system liczbowy (dziesiątkowy system liczbowy) – powszechnie stosowany system zapisu liczb przy użyciu 10 cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest pozycyjnym systemem liczbowym o podstawie 10. Przykład Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.40-41

12 Dwójkowy system liczbowyDwójkowy system liczbowy (binarny system liczbowy) – sposób zapisywania liczb za pomocą dwóch znaków zwanych bitami: 0 i 1. Jest pozycyjnym systemem liczbowym o podstawie 2 stosowanym we wszystkich urządzeniach elektronicznych, w szczególności w komputerach. Przykład Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str

13 Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych podstawachJeżeli aR, a≠0 i m,nC, to

14 Twierdzenie o dzieleniu potęg o tych samych podstawachJeżeli aR, a≠0 i m,nC, to:

15 Twierdzenie o potęgowaniu potęgiJeżeli aR, a≠0 i m,nC, to:

16 Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych wykładnikachJeżeli a,bR, a,b≠0 i nC, to:

17 Twierdzenie o dzieleniu potęg o tych samych podstawachJeżeli a,bR, a,b≠0 i nC, to:

18 Zadanie 1. Udowodnij Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych podstawach, jeżeli wykładniki są liczbami naturalnymi. Niech aR, a≠0 i m,nN, wówczas

19 Liczby olbrzymy Liczby giganty (liczby olbrzymy) – na świecie funkcjonują równocześnie dwa systemy nazywania bardzo dużych liczb naturalnych: europejski i amerykański. Początkowo duże liczby zapisywano grupując cyfry w bloki po 6 cyfr. Nazwa europejska Wartość Postać wykładnicza Nazwa amerykańska jeden 1 100 dziesięć 10 101 sto 102 tysiąc 1000 103 milion 106 miliard 1 i 9 zer 109 bilion 1 i 12 zer 1012 trylion biliard 1 i 15 zer 1015 kwadrylion Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str

20 Nazwa europejska Wartość Postać wykładnicza Nazwa amerykańskatrylion 1 i 18 zer 1018 kwintylion tryliard 1 i 21 zer 1021 sekstylion kwadrylion 1 i 24 zer 1024 septylion kwadryliard 1 i 27 zer 1027 oktylion 1 i 30 zer 1030 nonilion kwintyliard 1 i 33 zer 1033 decylion 1 i 36 zer 1036 undecylion sekstyliard 1 i 39 zer 1039 duedecylion … duodecyliard 1 i 75 zer 1072 kwatuorwigintylion googol 1 i 100 zer 10100 centylion 1 i 600 zer 10600 - googolplexplexplexplex 1 i googoltriplex zer googolplexian 1 i googolplexplexplexplex zer Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str

21 Trochę z kart historii System dziesiętny powstał w Indiach ok. VIII- IX wieku. Do Europy dotarł za pośrednictwem Arabów w X wieku. Został spopularyzowany przez matematyka włoskiego L. Fibonacciego na przełomie XVII/XVIII w. Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.40-41

22 Liczby duże i małe w geografiiźródło:

23 Mont Everest 8848 m n.p.m. = 8,848 . 103 m n.p.m.Najwyższa góra świata Mont Everest 8848 m n.p.m. = 8, m n.p.m.

24 Największy ocean Ocean Spokojny 179 700 000 km2 = 1,797 . 108 km2Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 20

25 Największa wyspa Grenlandia – powierzchnia około 2 175 600 km2Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 21

26 Największy półwysep Półwysep Arabski – powierzchnia około km2 2,73.106km2 Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 21

27 Największa pustynia na ZiemiSahara - jest to największy pustynny obszar na kuli ziemskiej. Rozciąga się na przestrzeni 9 mln km² w Afryce Północnej. 9.106 km2 najwi%C4%99ksze_pustynie_na_ziemi.html

28 Najpotężniejszy wodospadLivingstone’a (Inga) – wodospad na rzece Kongo. Średni roczny przepływ wody wynosi m/s. 4, m/s Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 36

29 Największa depresja Morze Martwe 404 m p. p. m. = 4, m p. p. m. Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 25

30 Największy kontynent Azja 44 400 000 km2 = 4,44 . 107 km2Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 20

31 Najgłębsze jezioro Bajkał 1620 m = 1,62 . 103 mŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 37

32 Skala mapy Skala mapy – stosunek wielkości modelu Ziemi dla jakiego opracowano odwzorowanie kartograficzne danej mapy do rzeczywistej wielkości Ziemi. Najczęściej stosowaną skalą jest skala liczbowa, np. 1: 10-5

33 zadanie2. Ile razy powierzchnia oceanu spokojnego jest większa od powierzchni Grenlandii?Odp.: Powierzchnia Oceanu Spokojnego jest około 8, razy większa niż powierzchnia Grenlandii.

34 Liczby duże i małe w botanice

35 Najmniejsza roślina w polsceWolfia bezkorzeniowa - gatunek rośliny z rodziny obrazkowatych, jeden z ok. 9 gatunków rodzaju wolffia. Jest to najmniejsza roślina okrytozalążkowa występująca w Polsce. Roślina osiąga zaledwie 0,6 mm długości i 0,33 mm szerokości.

36 Najmniejszy kwiat na świeciePilea microphylla ma kwiaty o średnicy zaledwie 0,35 mm. Jest to przedstawiciel pokrzywowatych.

37 Najmniejsze nasiona kwiatowe na świecieOrchidea – to roślina wykształcająca najmniejsze nasiona kwiatow. Jej malutkie nasionka osiągają 0,25-1,2 mm i szerokość 0,27 mm. Ponieważ są tak małe, każda torebka nasienna zawiera nasion.

38 Najmniejsza paproć Najmniejsze paprocie mają długość 1,2 cm i reprezentują pochodzące z Ameryki Środkowej gatunki: Hecistopteris pumila i Azolla caroliniana. 1,2 cm = 1,2.10-5km

39 najstarsze zboże chlebowePszenica - rodzaj zbóż z rodziny wiechlinowatych. Pochodzi z południowo-zachodniej i środkowej Azji. Oprócz jęczmienia jest najstarszym zbożem chlebowym uprawianym od co najmniej 6 tysięcy lat. 6.103

40 Największa roślina zielnaBarszcz Mantegazziego – największa roślina zielna pochodząca z Kaukazu. Barszcz ten, zdziczały i spotykany także w Polsce, może przekroczyć 3,6 m wysokości, a liście mają ponad 0,9 m długości. 3,6m = 3,6.103mm 0,9m = 9.102mm

41 Najwyższa paproć Cyathea novae caledoniae to najwyższa paproć. Jest przedstawicielem drzewiastego gatunku z Nowej Kaledonii. Osiąga 28 metrów wysokości. 28m = 2,8.104mm

42 Największe kwiaty świataRafflesia arnoldi - roślina ta rośnie dziko tylko na wyspie Sumatra w Indonezji. Kwiaty osiągają średnicę 1 metra i wagę do 9 kg. Każdy z pomarańczowo- brązowych płatków osiąga pół metra długości i ponad 2 centymetry grubości. 1m = 103mm 9kg = 9.103g 2cm =2.101mm

43 Najcięższy kwiat Amorphophallus titanum – osiąga 2 i pół metra wysokości i wagę 75 kilogramów. 2,5m = 2,5.103mm 75kg = 7,5.104g

44 Największy kwiatostanPuya raimondii - południowoamerykański przedstawiciel bromeliowatych. Potężny kwiatostan tego gatunku wznosi się na wysokość około 9 metrów i kwitnie nieprzerwanie przez 50 do 100 lat. 9m = 9.103mm 50 lat = lat 100 lat = 102 lat

45 Zadanie 2. Ile razy największa paproć jest większa od najmniejszej rośliny?Odp.: Największa paproć jest 4, razy większa niż najmniejsza roślina na świecie.

46 Liczby duże i małe w zoologiiźródło:

47 Największe zwierzę świataPłetwal błękitny - największe zwierzę w historii całej Ziemi. Nigdy wcześniej nie było większego organizmu żywego, niż te walenie. Osiąga on do 33 metrów długości i waży nawet 90 ton! 33 m = 3,3 .104mm 90 t = g

48 Największa ryba świataRekin wielorybi – jego długość dochodzi do 20m. Pożywieniem tego rekina jest plankton. 20 m = 2.104mm

49 Największy ssak lądowySłoń afrykański - samiec osiąga wysokość do 4,2 metra, samica nieco mniejsza do 2,6 metra. Waży do 6 ton, samice ważą o połowę mniej. 4,2 m = 4,2.103 mm 2,6 m = 2,6.103 mm 6 t = g

50 Największy ptak świataStruś afrykański - trudno wyobrazić sobie ptaka, który waży ponad 150 kilogramów i ma 274 centymetry wysokości. Jego jajo waży prawie 2 kilogramy. 150 kg = 1, g 274 cm = 2, mm 2 kg = g

51 Największy gad Krokodyl różańcowy - największym gadem jest krokodyl różańcowy, który zazwyczaj dorasta do długości 5 metrów, natomiast rekordowy okaz miał aż 6,3 metra długości i ważył 1900 kilogramów. 5 m = mm 6,3 m = 6,3 .103mm 1900 kg = 1,9.106 g

52 Największy motyl świataAttacus atlas - największy motyl świata; należy do motyli nocnych (ćmy), pochodzi z Indonezji - jego rozpiętość skrzydeł osiąga 30 cm. 30 cm = mm

53 Najmniejszy owad Błonkówka Megaphragma mymaripenne to owad należący do rodziny rzęskowatych. Ich długość nie przekracza zazwyczaj 0,2 mm. Najmniejszy okaz tych owadów mierzył 0,17 mm. 0,2 mm = mm 0,17 mm = 1, mm

54 Najmniejszy ssak Ryjówka – najmniejszy ssak. Ryjówka etruska waży g, a jej długość łącznie z ogonem to zaledwie 4 cm. 2 g = t 4 cm = km

55 Najmniejszy ptak świataKoliber - to najmniejszy ptak świata. Jego długość wynosi od 6 do 22 cm i masie 2-20 g. 6 cm = km 22 cm = 2, km 2 g = kg 20 g = kg

56 Najmniejsza ryba na świecie 7,9mmPaedocypris progenetica - najmniejsza ryba na świecie. Ma długość 7,9 mm. Została odkryta w styczniu na Sumatrze. 7,9 mm = 7, km

57 Najmniejszy koń świataNajmniejszy koń świata wyhodowany został przez Paula i Key Goessling, którzy specjalizują się w hodowli miniaturowych koni. Ma on 43,18 cm wysokości. 43,18 cm = 4, m

58 Najmniejszy konik morskiHippocampus Denise – najmniejszy konik morski. Jego długość wynosi około 16 mm. Żyje w tropikalnych wodach zachodniego Pacyfiku od 13 do 90 metrów poniżej powierzchni. 16 mm = 1,6.10-2m

59 Zadanie 3. Ile razy największy ptak jest cięższy od najmniejszego ptaka?Odp.: Największy ptak jest 7, razy cięższy od najmniejszego ptaka na świecie.

60 Liczby małe i duże w przemyśle i budownictwie

61 Nanotechnologia Nanotechnologia działa w obszarze cząsteczek mierzonych w skali nanometrycznej a wielkość jednego nanometra odpowiada milionowej części milimetra. Nanotechnologia to przyszłość, która zaczyna się dziś.

62 Nanorurki Nanorurki - struktury nadcząsteczkowe, mające postać pustych w środku walców Najcieńsze nanorurki węglowe mają średnicę rzędu jednego nanometra, a ich długość może być miliony razy większa. 1 nm = 10-9m

63 Zastosowanie nanorureknanotechnologia, elektronika, optyka, badania materiałowe

64 druty kwantowe Drut kwantowy - jednowymiarowa struktura, w której ruch elektronów jest ograniczony w kierunkach poprzecznych i pozbawiony ograniczeń w kierunku podłużnym. Ich wymiary poprzeczne wynoszą nm. 10 nm = 10-8m 500 nm = m

65 Stocznia Stocznia – zakład przemysłowy, w którym buduje się, remontuje, przebudowuje lub likwiduje statki wodne. Nośność statku wyraża się w tonach. 1 t = 103kg

66 najwyższy budynek świataBurj Dubai, mierzący 828 m gigant wybudowany w Dubaju w Zjednoczonych Emiratach Arabskich. 8, m

67 Najwyższy budynek w polscePałac Kultury i Nauki w Warszawie – wysokość 230,7m. 2, m

68 najdroższy apartamentowiecOne Hyde Park - budynek w centrum Londynu. Do dziś blisko 75 proc. z 86 niezwykle luksusowych apartamentów znalazło właściciela. Żeby zamieszkać w budynku za metr kwadratowy powierzchni mieszkaniowej trzeba zapłacić około 2, funtów.

69 Zadanie 4. Ile razy najwyższy budynek na świecie jest wyższy od najwyższego budynku w polsce?Odp.: Najwyższy budynek na świecie jest około 3,58 razy wyższy od najwyższego budynku w Polsce.

70 Liczby duże i małe w astronomii

71 słońce Średnica = 1 392 000 km = 1,392 . 106 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

72 merkury Średnica równikowa = 4 878 km = 4,878 . 103 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

73 wenus Średnica równikowa = 12 104 km = 1,2104 . 104 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

74 ziemia Średnica równikowa = 12 756 km = 1,2756 . 104 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

75 mars Średnica równikowa = 6 790 km = 6,79 . 103 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16 1600/mars-planet-water-nasa.jpg

76 jowisz Średnica równikowa = 142 796 km = 1,42796 . 105 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

77 saturn Średnica równikowa = 120 000 km = 1,2 . 105 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

78 uran Średnica równikowa = 52 400 km = 5,24 . 104 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

79 neptun Średnica równikowa = 48 400 km = 4,84 . 104 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

80 pluton Średnica równikowa = 5 900 km = 5,9 . 103 kmŚwiat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 16

81 Podsumowanie projektu – wnioskiRozwiązywanie zadań dotyczących potęgowania utrwaliło nasze wiadomości i umiejętności przed egzaminem gimnazjalnym, Stwierdziliśmy, że notacja wykładnicza jest świetnym narzędziem do przedstawiania różnych wielkości, Poszukiwanie i wybór wielkości małych i dużych w botanice, zoologii, geografii, przemyśle oraz układanie zadań stanowiły ciekawe doświadczenie, Realizacja projektu nauczyła nas pracować w zespole, a wspólna praca okazała się świetną zabawą.

82 Bibliografia Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , KrakówOqdmjhPV06s/Tt_RvvLxL5I/AAAAAAAAAk0/v7eqgp1SDkc/s wyksztalca-najmniejsze-nasiona-.html

83 bibliografia http://en.es-static.us/upl/2010/03/saturn_300.jpg 2.wpapi.wp.pl/a, ,f,a1c3638f4bbe669043bf088f25a5ddd6.jpg

84 bibliografia http://imageshack.us/photo/my-images/812/dsc02044w.jpg/g&filetimestamp=

85 bibliografia http://swiat.dookola.w.interia.pl/20.jpg g.jpg/250px-Burj_Khalifa_building.jpg telefon-komorkowy.jpg zielona-laka-drzewa.na-pulpit.com/zdjecia

86 bibliografia zielona-laka-drzewa.na-pulpit.com/zdjecia Kosmos/kosmos_k13.jpg&imgrefurl zoologia_0.jpg&img

87 bibliografia architekturze,38_31227.html orchideceae_5062.jpg GoryNadmorskie/01-BolszeKoty.jpg

88 bibliografia GoryNadmorskie/01-BolszeKoty.jpg jpg Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997

89