1 TEORÍA DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

2 CONCEPTO DE CONJUNTO Es la agrupación o colección de objetos llamados elementos. Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }. Ejemplo: A= { 1, 2, 3, 4 } Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto será utilizado el símbolo  (pertenece a). Prof. Ofelia Nazario Bao

3 EJEMPLO: Se lee “ 2 pertenece a A” Se lee “ 3 pertenece a A”Se lee “ 8 no pertenece a A” Prof. Ofelia Nazario Bao

4 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOSUn conjunto queda determinado por “Extensión”, cuando se nombran uno a una sus elementos. Un conjunto queda determinado por “Comprensión”, cuando sus elementos se definen por medio de una propiedad la cual deben satisfacer. Prof. Ofelia Nazario Bao

5 EJEMPLOS 1) A=Conjunto de los números: 1, 4. A={0,4} por extensiónA={x/ x (x-4)=0} por compresión 2) B= Conjunto de las letras: a, m, o, r. B={a, m, o, r} por extensión B={x : x es una letra de la palabra “roma”} por comprensión Prof. Ofelia Nazario Bao

6 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOSUn conjunto es finito si su número de elementos se puede contar; en caso contrario se dice que es infinito. EJEMPLOS: 1) CONJUNTOS FINITOS A={x : x es un mes del año} B= Conjunto de alumnos de la FIA 2) CONJUNTOS INFINITOS C= Conjunto de los números pares D={x  / -4 < x < 4} Prof. Ofelia Nazario Bao

7 CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos mas importantes que se estudian en matemáticas son: N = Conjunto de los números Naturales. = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………} Z = Conjunto de los números Enteros = {……,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…..} Z+ = Conjunto de los Enteros Positivos ={1, 2, 3, 4, ……..} Z- = Conjunto de los Enteros Negativos ={-1, -2, -3, -4,…..} Prof. Ofelia Nazario Bao

8 Q = Conjunto de los números Racionales = { a/b : a Z, bZ, b 0 } Q´= Conjunto de los números Irracionales. = {x : x tiene representación infinita no periódica}. R = Conjunto de los números Reales = Conjunto formado por los elementos de Q y Q´. C = Conjunto de los números Complejos. ={a+bi : a  R y b  R ; i= -1} Prof. Ofelia Nazario Bao

9 CONJUNTOS ESPECIALES UNITARIO:Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. VACÍO: Es aquel que no tiene elementos. Se denota por la letra griega (). UNIVERSAL: Es el conjunto que tiene todos los elementos de un determinado problema. Se denota por la letra U. Prof. Ofelia Nazario Bao

10 EJEMPLOS 1) CONJUNTOS UNITARIOS A1={xN: 0A2={x : x es la capital del Perú} 2) CONJUNTOS VACÍOS B1={xN: 2x+3=0}= B2={xR: x2=-1} 3) CONJUNTO UNIVERSAL U={xZ: -1x4} es el universo de C1={xZ: x2-1=0} C2={x : x3U} Prof. Ofelia Nazario Bao

11 EJERCICIOS DE APLICACION2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A={1, 4, 7, 10, 13 } b) B={2, 4, 8, 14, 22 } c) C={1/2, -1/4, 1/8, -1/16, 1/32 } Prof. Ofelia Nazario Bao

12 Prof. Ofelia Nazario Bao

13 RELACIONES ENTRE CONJUNTOSProf. Ofelia Nazario Bao

14 INCLUSIÓN Un conjunto A esta incluido o contenido en otro B, si todo elemento de A es elemento de B. Indicamos esto escribiendo AB o BA. Formalmente: ABx: xAxB Negando la definicion anterior tenemos: AB  x: xA  xB EJEMPLOS 1. El conjunto A={xR: x2=1} es un subconjunto de B={xZ:-1x2}. 2. El conjunto N es subconjunto de Z. 3. El conjunto A={1,2} es subconjunto de B={2,1}. Prof. Ofelia Nazario Bao

15 IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos. Esto es: A=B  (x: xAxB) Tambien: A=B  (AB  BA) NOTA: Si A  B  A  B, se dice que A es subconjunto propio de B. EJEMPLO Son iguales, los conjuntos: A={xN :x2+2x-3=0} y B={3}. Prof. Ofelia Nazario Bao

16 PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN1) A: AA (reflexiva) 2) (AB  BA) A=B (antisimétrica) 3) (AB BC)  AC (transitiva) 4) A: A PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 1) A: A=A (reflexiva) 2) A=B  B=A (simétrica) 3) (A=B  B=C)A=C (transitiva) Prof. Ofelia Nazario Bao

17 CONJUNTOS DISJUNTOS EJEMPLOSSe dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Simbólicamente: (A y B son disjuntos)  (no x: xA  xB) EJEMPLOS Los siguientes conjuntos son disjuntos: A={xR: x3-x=0} y B={-2, 2, 4}. 2. El conjunto de los números racionales (Q) y los irracionales (Q’). Prof. Ofelia Nazario Bao

18 CONJUNTOS EQUIVALENTESDos conjuntos no vacíos A y B se dice que son equivalentes o coordinables si se pueden formar parejas de tal manera que cada pareja este formada por un elemento de cada conjunto empleando todos los elementos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes se escribirá: A  B. EJEMPLOS: Son equivalentes los conjuntos: 1. A={xN:-1 2. Los naturales impares y los naturales pares. NOTAS: i) A = B implica que A  B ii) A  B no implica que A=B Prof. Ofelia Nazario Bao

19 CONJUNTOS COMPARABLESSe dice que dos conjuntos A y B son comparables si AB  BA. Simbólicamente: (A y B son comparables) ( A  B  B  A ) EJEMPLOS Son comparables: 1. Los conjuntos A={ 1, 2} y B={xZ:(x-1)(x2-4)=0}. 2. Los conjuntos numéricos N y Z. Prof. Ofelia Nazario Bao

20 CONJUNTO POTENCIA EJEMPLO:Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los subconjuntos de A. Se denota por P(A). Simbólicamente: P (A):= {X / XA } Es decir: XP(A)  XA EJEMPLO: Hallar P(A) para A={-1, 0, 1} Prof. Ofelia Nazario Bao

21 PROPIEDADES DEL CONJUNTO POTENCIA2) A  B  P (A)  P(B) 3) A=B  P (A)=P (B) 4) Si n es el número de elementos de A, entonces P(A) tiene 2n elementos. Prof. Ofelia Nazario Bao

22 EJERCICIOS DE APLICACIONDados los conjuntos A={2,3 5,6,8} B={0,1,2,4,5,7,9}; si m es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A, hallar m+n. 2. Dado A = {a, b,{a, b},{a,{a, b}}} Si a  b, ¿ cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) p: {a, b}  A b) q: {a, {a, b}}  P (A) c) r: {{a, b}, b}  P (A) Prof. Ofelia Nazario Bao

23 A = {x  Z : ~(x -3x>3) } B = {y  Z+ : y es par  y<10 } 3. Dados los conjuntos: A = {x  Z : ~(x -3x>3) } B = {y  Z+ : y es par  y<10 } C = {z  Z : ~(-2>z  z>28) } D = {x  Z : x  C } Determinar el valor de verdad de: a) p: B  A b) q: C  B c) r: B y C son comparables d) s: C y D son equivalentes Prof. Ofelia Nazario Bao

24 Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 4. Si A = {, { }, {a,  }, a} Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) p:   A    P (A) b) q:   P ()  A  P (A) c) r: n (P (A))=16  {}= d) s:  X  P (A) / a  X e) t: {, { }} P (A) 5. Dados los conjuntos A={a2+b2-5,-3,-4a } y B={ b-2c-8, a2+4}. Si {a, b, c } {x  Z:x2  1 } y A=B , hallar el conjunto potencia de C= { a+c, b2+c } Prof. Ofelia Nazario Bao

25 6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique sus respuestas. a) b) Si A={x  Z / 3x2=x} P (A)= c) d) P (P ())={}  P ()= Prof. Ofelia Nazario Bao

26 d) s: p (A) y { 2, {0, {0,2}} } son comparables7. Dado el conjunto A = {0,2,{0,2},{0,{0, }}}. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p: {0, 2}  A b) q: {0, {0, 2}} P (A) c) r: {{0, 2}, 2} P (A) d) s: p (A) y { 2, {0, {0,2}} } son comparables Prof. Ofelia Nazario Bao

27 REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOSProf. Ofelia Nazario Bao

28 DIAGRAMAS DE VENN-EULERSon representaciones de los conjuntos a través de figuras geométricas cerradas (círculos, elipses, etc.), en cuyo interior se ubican a los elementos mediante puntos. El conjunto universal suele representarse por un rectángulo. U A B C .1 A B .2 .a .m .4 .3 .b .c Prof. Ofelia Nazario Bao

29 DIAGRAMA DE VENN-EULER DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.1. El conjunto de los números complejos C es el conjunto universal. 2. NZQRC. 3. El conjunto Q’ es disjunto respecto de los conjuntos N, Z y Q. Q Q´ Z N Prof. Ofelia Nazario Bao

30 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSProf. Ofelia Nazario Bao

31 UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Simbólicamente se indica por A  B= {x / xA  xB } Es decir: x AB  (xA  xB ) SIMBÓLICAMENTE AB=parte sombreada A B Prof. Ofelia Nazario Bao

32 EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: A  B={1,2,3,4,5,6}, B C ={2,4,5,6,7}, A  C={1,2,3,4,5,6,7} GRÁFICAMENTE AB BC AC A B B A C .5 .2 .1 C .1 .2 .5 .4 .2 .5 .6 .3 .4 .4 .7 .6 .7 .3 .7 .6 Prof. Ofelia Nazario Bao

33 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSIntersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que comunes de A y B. En símbolos se tiene: A  B= {x / xA xB } Es decir: xA B  (xA  xB ) GRÁFICAMENTE AB= parte sombreada A B Prof. Ofelia Nazario Bao

34 EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: AB={2,4,}, B  C={5,6,7}, A  C={ } GRÁFICAMENTE AB BC AC A B B A C .5 .2 .1 C .1 .2 .5 .4 .2 .5 .6 .3 .4 .4 .7 .7 .6 .3 .7 .6 Prof. Ofelia Nazario Bao

35 DIFERENCIA DE CONJUNTOSLa diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. En simbolos se tiene: A-B= {x / xA  xB } Es decir: xA-B  (xA  xB) GRÁFICAMENTE A-B= parte sombreada A B Prof. Ofelia Nazario Bao

36 EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: A-B={1,3}, B-C={2,4}, A-C={1,2,3,4} GRÁFICAMENTE A B C .5 .4 .3 .2 .6 .7 .1 A-B B- C A- C Prof. Ofelia Nazario Bao

37 COMPLEMENTO DE CONJUNTOSEl complemento de A respecto de B es el conjunto formado por los elementos de B y que no son de A. En símbolos: CB(A)= B-A= {x / xB  xA } Es decir: x CB (A)  x B  x  A GRÁFICAMENTE: CB(A) = parte sombreada A B Prof. Ofelia Nazario Bao

38 Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: CB(A)=B-A={5,6,7}, CC(B)=C-B= { }, CC(A)=C-A={5,6,7} GRÁFICAMENTE CB(A) CC(B) CC(A) A B B A C .5 .2 .1 C .1 .2 .5 .4 .2 .5 .6 .3 .4 .4 .7 .6 .7 .3 .7 .6 Prof. Ofelia Nazario Bao

39 Si B=U=conjunto universal, entonces NOTA Si B=U=conjunto universal, entonces el complemento de A respecto de U , se denota por: C(A)=A’ =AC , y se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es: A’=U-A={x/xU  xA} EJEMPLO U Si U={1,2,3,4,5,6,7} es el universo de A={2,4,6} entonces: A’=U-A={1,3,5,7} A A’ .5 .1 .4 .2 .6 .3 .7 Prof. Ofelia Nazario Bao

40 DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSLa diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos (A-B) y (B-A). Simbólicamente: A  B = (A-B)  (B-A) = (A  B)-(A  B) GRÁFICAMENTE A  B= parte sombreada A A A B B B Prof. Ofelia Nazario Bao

41 EJEMPLOS Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos: AB={1,3,5,6,7}, BC={2,4}, AC={1,2,3,4,5,6,7} GRÁFICAMENTE AB BC AC A B B A C .5 .2 .1 C .1 .2 .5 .4 .6 .2 .5 .4 .4 .7 .3 .6 .7 .3 .6 .7 Prof. Ofelia Nazario Bao

42 EJERCICIOS DE APLICACION1. Sea U={x Z:-2x  x3} el universo de este ejercicio y los conjuntos A={x Z:~[ x-4  x3 ]} B={x N:~[-1x5  x=3 ]} C={xZ: x2+3x+2=0}  { xN: 12/x  N} Determinar por extensión los conjuntos: a) (A-B)’  C b) C  (A  B) Prof. Ofelia Nazario Bao

43 2. Sean A={ 2x2, 12y-2x} y B={9y-1, x3} Si x, y  N, y A  B es un conjunto unitario, hallar A  B. 3. Sea {x, y, z}  Z-{-1,1 }. Si A={x+y+z:-x=x2-2  x2+y2=13  y-2z=5} Hallar: P( A {-x: x A} ) 4. Sean A={a,, {}} Y B={{},{{}}}. Determinar el valor de verdad de: a) P (A  B)={{{ }},} b) A  B={a,,{{}}} c) {{a},{{}}}P(AB) d) {{{a},{}},{}}P(A) Prof. Ofelia Nazario Bao

44 ALGEBRA DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao

45 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS IDEMPOTENCIA: AA=A AA=A 1A  U ,BU ,CU se cumple: IDEMPOTENCIA: AA=A AA=A 1 Prof. Ofelia Nazario Bao

46 AB C=(AB)C=A(B C) ABC=(AB)C=A(BC) ABC=(AB)C=A(BC)2. CONMUTATIVIDAD: AB=B A AB=B A AB=B A 3. ASOCIATIVIDAD: AB C=(AB)C=A(B C) ABC=(AB)C=A(BC) ABC=(AB)C=A(BC) Prof. Ofelia Nazario Bao

47 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)4. DISTRIBUTIVIDAD: A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. LEYES DE MORGAN: (AB)’ = A’B’ (AB)’ = A’B’ Prof. Ofelia Nazario Bao

48 6. LEYES DE ABSORCIÓN: A(AB)=A A(AB)=A A(A’B)=AB A(A’B)=AB7. LEYES DE IDENTIDAD: A=A A= AU=U AU=A Prof. Ofelia Nazario Bao

49 8. LEYES DEL COMPLEMENTO: AA’=U AA’= U’= ’=U (A’)’ = A9. LEYES DE LA DIFERENCIA: A-B=AB’ A-A= A-=A -A= Prof. Ofelia Nazario Bao

50 10. LEYES DE LA INCLUSIÓN: A  AB AB  A A-B  A 11. OTRAS:A  B  B’  A’ A  B  A  C  B  C A  B  A  C  B  C A  B  A  B = B A  B  A  B = A Prof. Ofelia Nazario Bao

51 EJERCICIOS DE APLICACIONDemostrar las siguientes igualdades para conjuntos: a) (A-C)  A-(BC) = A-C b)   (A-B’)  (B’-A) –B   B- (AB)(AB)’  = A’ 2. Simplificar los siguientes conjuntos: a)  (AB)C’ ’  (B C) rpta: BC b)  C(B-A’) B-(CA)’ rpta: BC Prof. Ofelia Nazario Bao

52 3. Si AB, simplificar el siguiente conjunto: A  (BA)CB’  A’ B’  rpta:  4. Si AB y CA=, simplificar la expresión: A(B-C)B(C–A){(A-B)C rpta: BC Prof. Ofelia Nazario Bao

53 simplificar el siguiente conjunto aplicando álgebra de conjuntos: 5. Si CB=C y (BC)A=, simplificar el siguiente conjunto aplicando álgebra de conjuntos: (AB)’(A-C)B’ ’’- (C’-B’)-A’ ’ rpta:  6. Si AB, simplificar el siguiente conjunto: (A’-B)’–(B-A’)  (A’ B’)(A-B’ ) rpta: U Prof. Ofelia Nazario Bao

54 7. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: A: (AA’ )A=A q: A, B: (AB)’= A’ B’ r: A,B,C:A(BC)=(AC)(BC) s: A,B: (AB)-(BA)=(A-B)(B-A) t: A,B,C:ABA(BC)=(AB)C 8. Usando el siguiente diagrama de Venn-Euler, simplificar: {[(E-A’)(E-D)][(DB)(C-E)]} E D C B A Prof. Ofelia Nazario Bao

55 CARDINAL DE UN CONJUNTOProf. Ofelia Nazario Bao

56 NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTOSea A un conjunto finito. Se dice que n es el número de elementos o número cardinal de A si y solo si A es equivalente al conjunto de enteros positivos {1,2,3,..,n}. Y se denota por: card(A)=n o n(A)=n. EJEMPLOS Si A={a,b,c} y B={o,e,{o},{e,{o}}} entonces: n(A)=3 y n(B)=4. Tambien: n[P(A)]=23=8 y n[P(B)]=24=16 Prof. Ofelia Nazario Bao

57 PROPIEDADES Si A y B son conjuntos disjuntos, esto es AB= entonces: n(AB)= n(A)+n(B) A B n1 n2 2. Si A y B son conjuntos cualesquiera entonces: n(A-B)=n(A)-n(AB) B A n3 n2 n1 Prof. Ofelia Nazario Bao

58 3. Si A y B son conjuntos tales que AB, entonces:n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB) B A n3 n2 n1 4. Si A,ByC son conjuntos tales que ABC, entonces n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB) n(AC)-n(BC)+n(ABC) C B A n1 n7 n6 n5 n4 n3 n2 Prof. Ofelia Nazario Bao

59 EJERCICIOS DE APLICACIONSi A es un conjunto que tiene 8m elementos, B un conjunto con 5m elementos y se sabe que los dos tienen 2m-1 elementos en común, hallar la suma del numero de elementos que tienen cada uno de los siguientes conjuntos: a) (AB)(A-B) b) (AB)(A-B) Rpta: 6m+1 2. Si n[P(A)]=128, n[P(B)]=16 y n[P(AB]=8, hallar n[P(AB)]. Rpta: 256 Prof. Ofelia Nazario Bao

60 3. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)= 5 y n(D)=53. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)= 5 y n(D)=5. Hallar el producto del máximo número de elementos de AC y del máximo número de elementos de BC. Rpta: 65 4. Si n(U)=360, n(A)=120, n(B)=150, n(C)=100, n(AC)=20, n(AB)=30, n(BC)=25, n(ABC)=10, hallar n(EF), sabiendo que E={xU:xAxB} y F={xU:xAxB}. Rpta:280 Prof. Ofelia Nazario Bao

61 5. Un club consta de 78 personas5. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley. Además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Hallar la diferencia entre el total de personas que practican exactamente un deporte y el total de personas que practican exactamente dos deportes. Rpta: 12 Prof. Ofelia Nazario Bao

62 a) El porcentaje de encuestados que siguen una solo carrera. Rpta: 35%6. En una encuesta realizada sobre un determinado numero de profesionales se observa que: El 52% son físicos, el 72% matemáticos, el 37% químicos, el 32% físico-matemático, el 12% físico-químico, el 22% matemáticos-químicos y el 2% físico-matemáticos-químicos. Hallar: a) El porcentaje de encuestados que siguen una solo carrera Rpta: 35% b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras Rpta: 3% Prof. Ofelia Nazario Bao

63 7. De un grupo de turistas 9 conocen Cuzco o Piura, pero no Arequipa; de estos 9; 8 conocen Cuzco y 4 Piura. Además 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 7 conocen Cuzco pero no Piura, y 2 han visitado Piura y Arequipa pero no Cuzco. Si 4 turistas conocen las 3 ciudades ¿ A cuantos turistas se hizo referencia ? Rpta: 30 Prof. Ofelia Nazario Bao

64 8. En una batalla intervinieron 300 hombres, de los cuales: 54 fueron heridos en la cabeza 48 ‘’ ‘’ ‘’ el brazo 58 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna 8 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y brazo 20 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna y brazo 12 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y pierna Si el 42% de los que intervinieron en la batalla fueron heridos, averiguar cuántosn fueron heridos en los tres lugares Rpta: 6 Prof. Ofelia Nazario Bao