1 Teoría de errores y presentación de resultadosFundamentos Físicos de la Ingeniería 1º Ingeniería Industrial Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Curso 2009/2010

2 Índice Unidades Cifras significativas Error en la medidaExpresión de una magnitud con su error Regla de redondeo Cálculo de errores Medida directa Medida indirecta Rectas de mejor ajuste Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

3 Unidades Se recomienda siempre el Sistema Internacional (SI):m, s, kg, A, C, V, Ω, Hz, H, F, T... Los prefijos pueden usarse con moderación en los resultados finales pF, mA, kHz,... SÍ mV/mA, kΩ·μs, μs-1,... NO Todas las cantidades con dimensiones deben ir acompañadas de sus unidades Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

4 Cifras significativasNúmero de cifras de un dato Ejemplos: Dato Cifras significativas 318 kg 3 12.45 V 4 A 3 23.30 J 4 45000 m Ambiguo Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

5 Error en la medida Mejor llamarlo incertidumbreTipos de error (según la causa) Sistemático eliminable si se conoce Aleatorio bandas de error Expresión del error: x ± Ex Ej: V0 = 3.2±0.3 V Forma compacta: V0=3.2(3) V El error absoluto tiene unidades Error relativo: εx= Ex/x (¡Adimensional!) Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

6 Expresión de la cantidad con su errorLa banda de error limita el número de cifras significativas: U = ± J Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más U = 2.3± J Las primeras cifras del error nos dicen donde está la incertidumbre Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

7 Reglas de redondeo Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea R = ± 0.09 Ω Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea R = 2.83 ± 0.09 Ω Redondeo: afecta a la última cifra retenida Si la siguiente cifra es <5: se mantiene Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

8 Reglas de redondeo Se escriben la cantidad y su error con todas sus cifras: I = ± A I = ± A I = ± A I = ± 2.87 A I = ± 234 A I = ± A I = ± A Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

9 Reglas de redondeo Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea I = ± A A I = ± A 0.04 A I = ± A 0.20 A I = ± 2.87 A 3 A I = ± 234 A 230 A I = ± A 0.010 A I = ± A 0.3 A Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

10 Reglas de redondeo Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea I = ± A I = ± A I = ± 0.04 A I = 2.30 ± 0.04 A I = ± 0.20 A I = 2.30 ± 0.20 A I = ± 3 A I = 2 ± 3 A I = ± 230 A I = 0 ± 230 A I = ± A I = ± A I = ± 0.3 A I = 2.3 ± 0.3 A Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

11 Reglas de redondeo 4. Resumiendo... I = 2.30408415 ± 0.002156ACurso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

12 Cálculo de errores Estudiaremos diferentes casos: Medida directaUna sola medida Varias medidas Medida indirecta Función de una sola variable: z = f(x) Función de varias variables: z = f(x,y,…) Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

13 Error de una medida directaEl error depende de la precisión del aparato (mínimo incremento entre medidas) Aparatos analógicos (respuesta continua): se toma como error la mitad de la precisión. Aparatos digitales (respuesta discreta): se toma como error la propia precisión. Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10 Si ha de enrasarse por dos extremos: doble error Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

14 Ejemplos de medidas directasUn amperímetro analógico Cursor de un osciloscopio 3 4 1 Lectura directa: 0.8±0.1V 3.6±0.1 3.2±0.1 3.8±0.1 Cursor de un osciloscopio Amplitud pico a pico con dos cursores 1 -1 1 Al mover el cursor el display indica 0.72, 0.76, 0.80: Directa: 1.6±0.2V Display: 1.52±0.08V 0.76±0.04 V Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

15 Error de varias medidas directasSe realizan si existe una incertidumbre no achacable al aparato de medida: Medidas: Resultado: media aritmética Error: doble de la desviación cuadrática media de la media de los datos Si Ex es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

16 Error de varias medidas directasError: cantidades relacionadas σn : desviación estándar de la población (xσn en las calculadoras) σn-1 : desviación estándar de la muestra (xσn-1 en las calculadoras) Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

17 Error de una medida indirecta Función de una variableSuponemos: Resultado: Error: x z f(x) x0 z0 df/dx Ejemplo: sección de un cable: Error de la medida: Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

18 Error de una medida indirecta Función de una variableAlgunos casos sencillos: Una variable proporcional a otra: Función exponencial: Logaritmo: Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

19 Error de una medida indirecta Función de varias variablesSuponemos: Resultado: Error: Válido si las variables son independientes Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

20 Ejemplos de errores Suma o diferencia Producto o cocienteEstimación: el error relativo de z es del orden del mayor de los errores relativos de sus argumentos Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

21 Unidades y errores Todos los datos deben ir acompañados de sus errores, si se conocen, y de sus unidades. Serie de medidas consecutivas 17(1) mm – 15(1) mm – 12(1) mm – 8(1) mm 17 – 15 – 12 – 8 ( ±1mm) Tablas: I(±0.1mA) V(±0.1V) 1.0 2.1 2.0 4.3 3.2 6.2 I(mA) V(V) 1.0(1) 2.1(1) 2.0(3) 4.3(1) 3.2(2) 6.2(2) I V(V) 1.03(1) mA 2.1(1) 870(1) μA 1.8(1) 640(1) μA 1.3(2) Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

22 Rectas de mejor ajuste Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite: Determinar una magnitud de forma indirecta Verificar relación lineal V I V I R Ajustar una función no lineal en una región restringida Interpolación o extrapolación V I V I Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

23 Gráfica de los datos Paso 1: gráfica de los datosV(±0.1mV) I(±0.1mA) 1.0 2.8 2.0 6.2 2.9 9.1 3.9 12.5 5.0 14.7 6.1 18.1 7.0 21.0 8.2 24.2 9.0 26.5 10.2 30.0 11.1 33.5 11.9 35.9 Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación lineal. Permite eliminar puntos erróneos. Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

24 Gráfica de los datos V(±0.1mV) I(±0.1mA) 1.0 2.8 2.0 6.2 2.9 9.1 3.912.5 5.0 14.7 6.1 18.1 7.0 21.0 8.2 24.2 9.0 26.5 10.2 30.0 11.1 33.5 11.9 35.9 Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

25 Gráfica de los datos Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos experimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

26 Gráfica de los datos Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos experimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

27 Coeficiente de correlaciónPaso 2: Obtención del coeficiente de correlación (r) Es una medida del grado de alineación r  (-1,1) r ≈ 0 r > 0 r ≈ 1 r ≈ -1 No tiene error No tiene unidades Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9. Ejemplos r = r = r = r = r = ERRÓNEO Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

28 Pendiente y ordenada en el origenPaso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y = a+bx Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear a y b lo dan las calculadoras r = r = Ejemplo: V=a+bI b = Ω b = R = ± Ω Eb = Ω a = mV a = ± 0.17 mV Ea = mV Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

29 Trazado de la recta Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráfica Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la recta de mejor ajuste Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

30 Trazado de la recta Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

31 Rectas exponenciales: cálculoEn muchas situaciones prácticas aparecen funciones de la forma Se transforman en rectas tomando logaritmos a y b se hallan de la forma usual El factor K se halla Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

32 Rectas exponenciales: representaciónPuede hacerse la gráfica de y=ln(z) frente a x. Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

33 Rectas exponenciales: representaciónEmpleando papel semi-logarítmico pueden ponerse directamente las magnitudes ¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

34 Rectas potenciales: cálculoEn ocasiones se tiene una ley potencial de exponente desconocido Se transforman en rectas tomando logaritmos a y b se hallan de la forma usual El factor K se halla: n: exponente Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

35 Rectas potenciales: representaciónPuede hacerse la gráfica de y=ln(z) frente a x=ln(t). Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

36 Rectas potenciales: representaciónEmpleando papel log-log pueden ponerse directamente las magnitudes ¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

37 Rectas de mejor ajuste: ejemplos¡Recta mal calculada o mal trazada! La ordenada en el origen es incorrecta Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

38 Rectas de mejor ajuste: ejemplos¡Punto erróneo!: debe eliminarse Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

39 Rectas de mejor ajuste: ejemplos¡Faltan etiquetas en los ejes! Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

40 Rectas de mejor ajuste: ejemplos¡Recta mal calculada o mal trazada! La pendiente de la recta es incorrecta Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

41 Rectas de mejor ajuste: ejemplos¡Faltan puntos experimentales y unidades! Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

42 Rectas de mejor ajuste: ejemplosPara gráficas por ordenador: incluir tramas Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

43 Rectas de mejor ajuste: ejemplosPara varias curvas: distintos símbolos y colores Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

44 Rectas de mejor ajuste Resumen de pasos a seguir:Representar los datos experimentales Obtener el coeficiente de correlación Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error Obtener información física Representar la recta de mejor ajuste Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

45 Cosas que nunca hay que olvidarPoner todas las unidades Poner todos los errores Redondear correctamente El error absoluto tiene unidades a y b tienen unidades Poner los puntos en las gráficas Poner las unidades en las gráficas Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla