1 Teoria procesów wymiany masyInżynieria Chemiczna i Procesowa Teoria procesów wymiany masy Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
2 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDyfuzja i konwekcja Omówimy procesy przenoszenia masy w wieloskładnikowych ośrodkach ze szczególnym uwzględnieniem procesów przepływowych. Najogólniej rzecz ujmując różne rodzaje transportu masy podzielić można na dwie zasadnicze grupy: Przenoszenie molekularne - DYFUZJA Makroskopowe mieszanie elementów płynu - KONWEKCJA Zaznaczyć należy, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszenia występują z reguły jednocześnie. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
3 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDYFUZJA Jeżeli w różnych punktach płynu składającego się z dwóch składników A i B, pozostającego w spoczynku lub poruszającego się ruchem laminarnym będą różne stężenia obu składników to wówczas wystąpi spontaniczny ruch cząstek z miejsc o stężeniu wyższym do miejsc o stężeniu niższym. Mamy odczynienia z procesem DYFUZJI Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
4 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaStężenie dyfundującej substancji może być określone w postaci stężenia masowego, molowego lub odpowiednich stężeń ułamkowych. Wzory definicyjne zestawiono poniżej: stężenie masowe składnika stężenie molowe składnika stężenie molowe dla gazów doskonałych Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
5 Inżynieria Chemiczna i Procesowaułamek masowy składnika ułamek molowy składnika w fazie ciekłej ułamek molowy składnika w fazie gazowej gdzie: mi – masa składnika; V – objętość mieszaniny; ni – liczba moli składnika; pi – ciśnienie cząstkowe; Mi – masa molowa; ρ, c, p – odpowiednie wielkości dla mieszaniny. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
6 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaKażdy składnik dyfundujący w mieszaninie przemieszcza się z właściwą sobie prędkością vi względem układu współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni. Stąd wypadkowa prędkość mieszaniny, w zależności od użytych stężeń, może być obliczona jako : lokalna średnia prędkość masowa lub jako: lokalna średnia prędkość molowa Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
7 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRozpatrując dyfuzję składnika w strumieniu płynu opieramy się na doświadczalnym prawie FICKA, które dla warunków izotermicznych i izobarycznych wyrażone jest wzorem: prawo FICKA lub dla dowolnych warunków: współczynnik dyfuzji [ m2 / s ] molowa gęstość strumienia w kierunku x [ mol / m2 * s ] Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
8 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaStrumień dyfundującego składnika można wyrazić również w jednostkach masy w warunkach stałości temperatury i ciśnienia c = const : masowa gęstość strumienia w kierunku x [ kg / m2 * s ] Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
9 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDla układów przepływowych strumień substancji dyfundującej określamy względem współrzędnych poruszających się ze średnią prędkością płynu lub względem współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni. Dla układu dwuskładnikowego A + B poruszającego się ze stałą molową średnią prędkością Vx*, gęstość strumienia masy składnika A względem przepływającej mieszaniny wynika z zależności: gęstość strumienia składnika względem nieruchomego układu współrzędnych jest równa: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
10 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaStrumienie JA i NA są ze sobą powiązane: dla układu dwuskładnikowego: mnożąc obie strony przez cA Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
11 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
12 Inżynieria Chemiczna i Procesowakorzystając z tej samej metody można wyprowadzić równanie dla strumienia masowego: wektor natężenia strumienia masy [ mol / m2 * s ] względem współrzędnych zewnętrznych składa się z dwóch członów : człon dyfuzyjny przemieszczanie się składnika na skutek przepływu mieszaniny Nakładanie się DYFUZJI na strumień przepływu mieszaniny. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
13 Inżynieria Chemiczna i Procesowaanalogiczna zależność obowiązuje dla składnika B: jeżeli porównamy te związki dla c = const i uwzględnimy że: dla układu dwuskładnikowego Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
14 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaKONWEKCJA Konwekcyjne przenoszenie masy wewnątrz płynu, między płynem i powierzchnią ciała stałego lub powierzchnią między fazową w układach o ograniczonej rozpuszczalności może zachodzić podczas przepływu wywołanego działaniem sił zewnętrznych albo przepływu spowodowanego różnicami gęstości płynu na skutek różnicy stężeń lub temperatury. Pierwszy rodzaj ruchu to KONWEKCJA WYMUSZONA Drugi rodzaj ruchu to KONWEKCJA SWOBODNA lub NATURALNA Równanie kinetyczne konwekcji jest analogiem do prawa stygnięcia ciał Newtona: molowa gęstość strumienia masy [ mol / m2 * s ] współczynnik przenoszenia masy [m/s] różnica stężeń [ mol / m3 ] Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
15 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPrzenoszenie substancji z głębi fazy płynnej do powierzchni międzyfazowej ( lub odwrotnie ) nazywamy procesem wnikania masy. Przenoszenie substancji pomiędzy dwiema fazami przez powierzchnię rozdziału nazywamy procesem przenikania masy. Wyznaczenie natężenia strumienia masy wymaga określenia powierzchni, stąd też strumień NA odnosimy do powierzchni międzyfazowej: stężenie w głębi płynu współczynnik wnikania stężenie na powierzchni międzyfazowej Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
16 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaNatężenie strumienia masy na powierzchni między fazowej jest równe: dla układów rozcieńczonych możemy to uprościć do postaci: porównując z : Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
17 Inżynieria Chemiczna i Procesowaotrzymujemy zależność na współczynnik wnikania masy w postaci : Aby wyznaczyć wartość współczynnika wnikania musimy znać rozkład stężeń w pobliży powierzchni międzyfazowej. Umiejętność wyznaczania wartości współczynników wnikania masy jest niezwykle istotna. Stanowią one bowiem podstawowe wielkości wykorzystywane przy projektowaniu urządzeń zwanych ogólnie wymiennikami masy lub reaktorami. Jedną z metod wyznaczania współczynników wnikania jest rozwiązanie ścisłe. Potrzebna jest znajomość pola stężenia substancji A. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
18 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRównanie KONWEKCJI - DYFUZJI W większości przypadków przemysłowych proces przenoszenia masy istnieje w warunkach przepływu płynu. Ruch masy występuje najczęściej w wielu kierunkach. Niekiedy mamy do czynienia z procesem nieustalonym, a ponadto często zachodzi reakcja chemiczna. Konieczne jest sporządzenie bilansu masy. Ograniczymy się tu do układu dwuskładnikowego. y CA+dCA Rozważmy różniczkowy element o objętości dxdydz CA Stężenie składnika A w płaszczyźnie ściany dydz dla wartości x wynosi CA, natomiast dla ściany dydz przechodzącej przez punkt x + dx wynosi CA + dCA x uAX Analogicznie dla pozostałych kierunków. uAX+duAX z Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
19 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaNatężenie dopływu składnika A [ mol / s] do elementu wyniesie: Na kierunku x: Na kierunku y: Na kierunku z: Natężenie odpływu składnika A [ mol / s] z elementu wyniesie: Na kierunku x: Na kierunku y: Na kierunku z: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
20 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaAkumulacja składnika A w rozważanym elemencie wyniesie: Zdefiniujmy szybkość reakcji chemicznej, jako liczbę moli (lub kilogramów) danego składnika, która przereagowuje w jednostce czasu i w jednostce objętości. Jeżeli szybkość reakcji chemicznej odniesiemy do liczby moli to oznaczamy ją przez R , jeżeli do kilogramów to oznaczamy ją przez r. Ubytek składnika A w rozważanym elemencie na skutek reakcji chemicznej będzie równy: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
21 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaZ aksjomatów bilansowania wynika: natężenie dopływu składnika natężenie odpływu składnika akumulacja składnika ubytek składnika w wyniku reakcji chemicznej można to zapisać równaniem: lub wyrażając masę w kilogramach a nie molach : Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
22 Inżynieria Chemiczna i Procesowaróżniczki występujące w równaniu możemy przedstawić w postaci: po podstawieniu: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
23 Inżynieria Chemiczna i Procesowaanalogiczne równanie można otrzymać dla składnika B: Dla układu dwuskładnikowego: dla bilansu w odniesieniu do 1 mola substancji : Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
24 Inżynieria Chemiczna i Procesowapo dodaniu stronami : uwzględniając definicję średniej masowej prędkości płynu: równanie ciągłości Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
25 Inżynieria Chemiczna i Procesowarównanie możemy zapisać : gdzie nA – gęstość strumienia składnika A podstawiając wyrażenie: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
26 Inżynieria Chemiczna i Procesowadla stałej gęstości i wartości współczynników dyfuzji równanie sprowadza się do: a po podzieleniu przez masę molową: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
27 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRównanie to można zapisać w postaci: równanie KONWEKCJI - DYFUZJI Dla współrzędnych prostokątnych: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
28 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaGdy nie zachodzą przemiany chemiczne : A dla płynów w spoczynku u = 0: drugie prawo Ficka Ogranicza się ono do opisu dyfuzji w ciałach stałych oraz płynach nieruchomych, pełna analogia do drugiego prawa Fouriera jest oczywista. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
29 Inżynieria Chemiczna i Procesowadla procesów ustalonych w czasie: dla płynów w ruchu: dla ośrodka nieruchomego: W przypadku występowania reakcji chemicznej równania te należy uzupełnić o człon RA Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
30 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRozwiązanie równania konwekcji dyfuzji wymaga sformułowania odpowiednich warunków brzegowych i początkowych na podstawie fizycznego opisu procesu. Warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej rozpatrywany obszar określamy najczęściej w postaci: stężenia na powierzchni : w przypadku rozpuszczania stężenie roztworu nasyconego w przypadku odparowania cieczy równowagowe ciśnienie cząstkowe składnika wartości strumienia masy na powierzchni według równania konwekcji szybkości zaniku lub powstawania substancji na skutek reakcji chemicznej na powierzchni Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
31 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaModele wnikania masy: Istnieje obecnie wiele modeli teoretycznie opisujących wnikanie masy przy różnych założeniach upraszczających. Spośród nich znaczenie praktyczne zachowały: model warstewkowy modele penetracyjne Model warstewkowy opiera się na koncepcji laminarnej warstwy przy powierzchni międzyfazowej. Zakłada się przy tym istnienie warstwy zastępczej o grubości δ. Przenoszenie masy przez tę warstwę odbywa się wyłącznie w wyniku ustalonej jednowymiarowej dyfuzji molekularnej, natomiast elementy płynu położone głębiej są doskonale wymieszane na skutek ruchów konwekcyjnych. Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
32 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPrzy takich założeniach dyfuzyjny opór warstwy zastępczej jest równoważny oporowi rzeczywistego procesu wnikania masy przez dyfuzję i konwekcję. powierzchnia międzyfazowa wnętrze płynu warstewka graniczna Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
33 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPrzy założeniu izotermiczności i nieściśliwości płynu równanie Konwekcji – Dyfuzji przyjmuje postać: z warunkami brzegowymi: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
34 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCałkując to równanie znajdujemy rozkład stężenia w warstwie: A stąd możemy wyznaczyć strumień masy: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
35 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaMODEL WARSTEWKOWY współczynnik wnikania Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
36 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaModele penetracyjne zakładają, że zachodzące wewnątrz płynu zawirowania burzliwe nie są tłumione w pobliżu powierzchni międzyfazowej, lecz dochodzą do tej powierzchni, prowadząc do ciągłego jej odnawiania. Powierzchnia płynu stanowi zatem „mozaikę” elementów o różnym wieku. Stąd średnia wartość strumienia masy wyniesie: funkcja rozkładu wieku elementów powierzchni chwilowy strumień masy odniesiony do elementu o wieku t Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
37 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaZakładamy że wnikanie masy do poszczególnych elementów płynu wyniesionych na powierzchnię przebiega tak samo, jak wnikanie do środowiska nieruchomego o nieskończonej głębokości. Przy przyjętych założeniach równanie Konwekcji – Dyfuzji sprowadza się do postaci: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
38 Inżynieria Chemiczna i Procesowaz warunkami granicznymi: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
39 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCałkowanie tego równania jest dość skomplikowane, pozwala jednak określić nam chwilowy strumień masy w postaci: Średni strumień masy zależeć będzie od przyjętej postaci funkcji rozkładu wieku elementów powierzchni Φ(t) Rozpatrzymy dwa modele Higbiego i Danckwersta Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
40 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaModel Higbiego zakłada, że czas życia wszystkich elementów powierzchni jest jednakowy i wynosi τ, tj. po upływie czasu τ każdy element zostaje odnowiony prowadzi to do następującej postaci funkcji rozkładu czasu życia elementów powierzchni: wówczas średni strumień masy: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
41 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaModel Danckwersta zakłada, że prawdopodobieństwo odnowienia elementu powierzchni nie zależy od jego wieku i prowadzi do zależności: szybkość odnawiania powierzchni wówczas średni strumień masy: Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
42 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPamiętając że: w ogólnym ujęciu dla modeli penetracyjnych zestawiając: model penetracyjny model warstewkowy Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy
43 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWyznaczanie współczynników wnikania masy liczba Sherwooda jest to miara stosunku ogólnej szybkości przenoszenia masy do szybkości dyfuzji. druga liczba Damkolera jest miarą stosunku zmiany ilości reagenta w wyniku reakcji chemicznej od ilości reagenta przenoszonego na skutek dyfuzji. dyfuzyjna liczba Pecleta jest miarą stosunku rozkładu stężeń wywołanego na skutek konwekcji do rozkładu stężeń wywołanego dyfuzją. liczba Schmidta jest miarą stosunku szybkości cząsteczkowego przenoszenia pędu do szybkości dyfuzji masy. Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy
44 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaLiczbę Pe możemy przedstawić jako iloczyn Reynoldsa i Schmidta Liczby Pe i Sc stanowią podstawowe kryteria podobieństwa procesu dyfuzyjnego transportu masy. Ogólnie rzecz ujmując : Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy
45 Inżynieria Chemiczna i Procesowastałe charakterystyczne dla danego procesu Dla konwekcji naturalnej pojawia się liczba Grashofa Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy
46 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaW równaniach korelacyjnych pojawiają się liczby będące kombinacjami liczb podstawowych: - liczba Lewisa - liczba Stantona Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy