1 Teoria sterowania Wykład 3Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów sterowania. y = ku y u y u y = f(u) yr ur

2 Liniowy obiekt sterowaniau(t) y(t) Liniowy obiekt sterowania Równanie wejścia – wyjścia (równanie różniczkowe liniowe) Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia

3 Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt gdy sygnał wejściowy i wyjściowy mają przebiegi sinusoidalne. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia po wprowadzeniu zmiennych stanu określających stan obiektu w każdej chwili. Zmienne stanu związane są z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), … .

4 Równanie wejścia – wyjścia obiektu Transmitancja operatorowa obiektu(1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4)

5 Transmitancja widmowa obiektu regulacji

6 Obiekt liniowy

7 Równania stanu i równanie wyjścia

8 Obiekty sterowania Obiekty statyczne Obiekty astatyczneBezinercyjne Inercyjne Oscylacyjne

9 Obiekty statyczne Obiekt bezinercyjny Równanie wejścia – wyjścia:Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

10 Przykład obiektu bezinercyjnegouwe(t) uwy(t) R1 R2

11 Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzęduRównanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

12 Równanie stanu: Równanie wyjścia:

13 Przykład obiektu inercyjnego I-go rzęduuwe(t) uwy(t) i(t) R

14 Obiekt inercyjny drugiego rzęduRównanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

15 Równania stanu: równania stanu Równanie wyjścia:

16 Przykład obiektu inercyjnego II-go rzęduuwe(t) uwy(t) i(t) C2 R2 i1 i2 u1

17 Przykład obiektu dwuinercyjnegoObiekt dwuinercyjny Przykład obiektu dwuinercyjnego uwe(t) uwy(t) i1(t) R1 C1 i2(t) C2 R2 Wzmacniacz separujący

18 Obiekt inercyjny z opóźnieniemRównanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

19 Obiekt oscylacyjny II rzęduRównanie wejścia – wyjścia: n - pulsacja drgań nietłumionych,  - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa:

20 Transmitancja widmowa:

21 Równania stanu: Zmienne stanu: równania stanu Równanie wyjścia:

22 Przykład obiektu oscylacyjnego II rzęduuwe(t) uwy(t) i(t) R L

23 Obiekty astatyczne Obiekty całkujące Obiekty całkujące z inercjąRównanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

24 Przykład obiektu całkującegou(t) i(t)

25 Obiekty całkujące z inercjąRównanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

26 Silnik obcowzbudny prądu stałego jako przykład obiektu całkującego z inercjąu(t) i(t) m(t), (t) + _  = const Równanie wejścia – wyjścia: (3.237) (3.238)