1 Tópico 1 2ª Presentación Ecuación clásica del calor Fabián A. Torres R. Profesor: Sr. Juan Morales

2 Programa Ecuación de difusión del calor. Aplicaciones de la ecuación sin fuentes térmicas.

3 Repaso La ecuación que describe la difusión del calor en un material es: Si k,c y  son constantes entonces la ecuación queda como:

4 Aplicaciones sin fuentes térmicas Región donde 0

5 En este caso, utilizando las series de Fourier, se puede expresar f(x) y T(x,t) como: El factor exponencial del tiempo nos asegura una convergencia uniforme para todo x siempre que t>0 Los coeficientes a n se determinan: Estas expresiones claramente satisfacen las condiciones iniciales y de contorno

6 Dos casos especiales: 1.-f(x)=A (constante). En este caso, se tiene que: Luego la expresión para T es :

7 2.-f(x)=kx (dependencia lineal) En este caso se tiene que: Y T(x,t) queda como: Gráfico de Convergencia de la serie de Fourier

8 Región 0 < x < L con distribución inicial de temperatura f(x) y temperatura constante en los extremos o aislados térmicamente. Ecuación : Condiciones de contorno e inicial:

9 En este caso suponemos la temperatura como la suma de dos funciones tal que :

10 De esta manera, se obtiene: Ahora, los términos a n están dados por: Expresión para T :

11 Región 0 < x < L con distribución inicial de temperatura f(x) y temperaturas  1 (t) y  2 (t) en los extremos. Ecuación : Condiciones de contorno e iniciales:

12 Utilizando el mismo método anterior, definimos T como: donde

13 De los casos anteriores se puede escribir u(x,t) como: Utilizando el teorema de Duhamel’s podemos escribir v como:

14 De donde se obtiene que : Reemplazando luego estas expresiones en T se obtiene la solución. con Luego, la expresión para v es

15 Utilicemos el resultado anterior para el caso en que T(x,0)=0  1 = 0 y  2 varía como sen(wt+  ). Luego la solución es:

16 donde