1 Transformaciones de variables aleatoriasClase 5 Transformaciones de variables aleatorias

2 Definición de función medibleDecimos que una función es Borel medible, o simplemente medible, si Observaciones: Recordemos que es el conjunto de las preimágenes de B. Siendo B un - álgebra en R, lo que se está exigiendo es que la preimagen de un boreliano sea un boreliano. (el conjunto formado por todas las preimágenes es un álgebra de Borel)

3 Definición de función medibleDebemos tener en cuenta las siguientes propiedades (el estudiante puede probarlas): La composición de funciones medible es medible. Las funciones continuas son medibles. Ahora estamos en condiciones de probar que la composición de una variable aleatoria y una función medible es una variable aleatoria.

4 Teorema Sea X una variable aleatoria definida en ( , A) y sea , A)una función medible, entonces es una variable aleatoria definida sobre ( , A) Demostración:

5 Observación: La función distribución de la variable aleatoria Y se puede expresar en función de X de la siguiente manera:

6 Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad :EJEMPLO Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad : es medible, o sea que, Y es v.a. La función Hallar la función densidad de la variable

7 Cambio de variables discretasTeorema Sea ( , A, P) un espacio de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta Sea una función medible Entonces es una variable aleatoria discreta, con función de cuantía: demostración a cargo del estudiante.

8 Ejemplo: Sea X una variable aleatoria discreta con rango y cuya función de cuantía se expresa en la siguiente tabla: x f(x) 1/ / / /5 1/10 Obtengamos la función de cuantía de la variable Y=X2 Estamos considerando entonces la función Entonces la función de cuantía es:

9 Cambios de variables continuasTeorema: Cambio lineal Sea X una variable aleatoria absolutamente continua. Sean y su función distribución y su función densidad Consideremos la variable aleatoria Y = aX + b con a 0 , si Entonces: y si , demostración

10 Sea X una variable continua con función densidad:EJEMPLO: Sea X una variable continua con función densidad: Por lo que su función distribución será: Hallar la función densidad de la variable Y = 2X + 1. Será un cambio de variable lineal

11 Teorema: Cambio cuadráticoSea X una variable aleatoria absolutamente continua. Sean y su función distribución y su función densidad Consideremos la variable aleatoria Y = X2 Entonces: y Demostración:

12 EJEMPLO: Sea la función O sea queson x real. Esta función es continua y no negativa ¿es una función densidad? O sea que es una función densidad y su función distribución: es

13 Si consideramos el cambio de variable cuadrático Y=X2 entonces elY si y> 0

14 Teorema: Sea X una variable aleatoria absolutamente continua,con función densidad .positiva en un intervalo Sea una función estrictamente creciente y continua en Entonces: Y=g(X) es una variable absolutamente continua. su función distribución es su función densidad: Demostración:

15 Ejemplos: Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad Consideramos la variable aleatoria Hallar función densidad de Y

16 Teorema: Sea X una variable aleatoria absolutamente continua,con función densidad .positiva en un intervalo Sea una función estrictamente decreciente y continua en Entonces: Y=g(X) es una variable absolutamente continua. su función distribución es su función densidad: Demostración: