1 Transformaciones GeométricasM.C. Beatriz Adriana Sabino Moxo

2 Transformaciones bidimensionalesTraslación Esta operación se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicación en el espacio bidimensional.

3 Transformaciones bidimensionalesTraslación Suponga que desea mover un punto p=(x,y) dentro del plano por un factor de desplazamiento de tx unidades en horizontal y ty unidades en vertical, las coordenadas del nuevo punto p’ serán: x’ = x + tx y’ = y + ty

4 Transformaciones bidimensionalesTraslación x’ = x + tx y’ = y + ty

5 Transformaciones bidimensionalesTraslación Ejemplo: Se tiene el punto p=(1,1) y se desea hacer una traslación tx=3 y ty=4, ¿Cuáles son las nuevas coordenadas? x’ = = 4 y’ = = 5 (1,1) p(x´,y´) = (4,5)

6 Transformaciones bidimensionalesTraslación Ejemplo: Se tiene el punto (1,1) y se desea hacer una traslación tx=3 y ty=4, ¿Cuáles son las nuevas coordenadas? x’ = = 4 y’ = = 5 p’= (4,5) ty=4 tx=3 (x´,y´) = (4,5)

7 Transformaciones bidimensionalesRotación Esta transformación geométrica se usa para mover un objeto o grupo de objetos alrededor de un punto.

8 Transformaciones bidimensionalesRotación La ecuación para la rotación un punto p=(x,y) es: x’ = xcosɵ - ysenɵ y’ = xsenɵ + ycosɵ

9 Transformaciones bidimensionalesRotación x’ = xcosɵ - ysenɵ y’ = xsenɵ + ycosɵ

10 Transformaciones bidimensionalesRotación Ejemplo: Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor ɵ=90° x’ = 3cos90° - 3sen90° = -3 y’ = 3sen90° + 3cos90° = 3

11 Transformaciones bidimensionalesRotación Ejemplo: Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor ɵ=90° x’ = 3cos90° - 3sen90° = -3 y’ = 3sen90° + 3cos90° = 3 ɵ=90°

12 Transformaciones bidimensionalesEscalación o Escalamiento Es una transformación que permite cambiar el tamaño o la proporción de un objeto o grupo de objetos. Hay escalados proporcionales y no proporcionales.

13 Transformaciones bidimensionalesEscalación La ecuación para el escalar un punto (x,y) es: x’ = xSx y’ = ySy Donde Sx y Sy son factores de escala sobre los ejes x y y respectivamente

14 Transformaciones bidimensionalesEscalación Ejemplo: Sea un triangulo con los puntos p1=(1,1), p2=(3,1) y p3=(3,2) con Sx=2 y Sy=2. P1’ = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*2) = (2,2) P2’ = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*2) = (6,2) P3’ = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*2) = (6,4)

15 Transformaciones bidimensionalesEscalación Ejemplo: Sea un triangulo con los puntos p1=(1,1), p2=(3,1) y p3=(3,2) con Sx=2 y Sy=2. P1’ = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*2) = (2,2) P2’ = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*2) = (6,2) P3’ = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*2) = (6,4) Escalado proporcional (6,4) (2,2) (6,2)

16 Transformaciones bidimensionalesEscalación Ejemplo: El mismo triangulo del ejemplo anterior con Sx=2 y Sy=3 P1’ = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*3) = (2,3) P2’ = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*3) = (6,3) P3’ = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*3) = (6,6)   Escalado no proporcional (6,6) (2,3) (6,3)

17 Transformaciones bidimensionalesEjercicios Sea el cuadrado con los puntos p1=(2,2), p2=(4,2), p3=(2,4) y p4=(4,4), realizar las siguientes transformaciones y graficarlas: Una traslación en tx=6 y ty=3. Un escalamiento Sx=6 y Sy=3. Una rotación con ɵ= 45° (2,4) (4,4) (2,2) (4,2)

18 Transformaciones bidimensionalesEjercicios Soluciones Traslación en tx=6 y ty=3: p1’=(8,5), p2’=(10,5), p3’=(8,7), p4’=(10,7). (8,7) (10,7) (2,4) (4,4) (8,5) (10,5) (2,2) (4,2)

19 Transformaciones bidimensionalesEjercicios Soluciones Un escalamiento Sx=2 y Sy=1: p1’=(4,2), p2’=(8,2), p3’=(4,4), p4’=(8,4). (2,4) (4,4) (8,4) (2,2) (4,2) (8,2)

20 Transformaciones bidimensionalesEjercicios Soluciones Una rotación con ɵ= 45°: p1’=(-2,-2), p2’=(-4,-2), p3’=(-2,-4), p4’=(-4,-4). (2,4) (4,4) ɵ=180° (2,2) (4,2) (-4,-2) (-2,--2) (-4,-4) (-2,-4)

21 Coordenadas homogéneas y representación matricialEl uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices. Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.

22 Coordenadas homogéneas y representación matricialTraslación x’ = x tx y’ = 0 + y + ty 1 = 1 x’ = x + tx y’ = y + ty p’= p.Mt

23 Coordenadas homogéneas y representación matricialTraslación Ejemplo: Se tiene el punto p=(1,1) y se desea hacer una traslación tx=3 y ty=4, ¿Cuáles son las nuevas coordenadas? 1 0 0 0 1 0 3 4 1 x’ = = 4 y’ = = 5 1 = 1 (x´,y’ ,1) = (1,1,1) p’(x’,y’)= (4,5) p’= p.Mt

24 Coordenadas homogéneas y representación matricialRotación x’ = xcosɵ - y sinɵ + 0 y’ = xsinɵ + ycosɵ + 0 1 = 1 x’ = xcosɵ - y sinɵ y’ = xsinɵ + ycosɵ p’= p.MR

25 Coordenadas homogéneas y representación matricialRotación Ejemplo: Rotar el punto p = (3,3) con ɵ=90° cos90° sen90° 0 -sen90° cos90° 0 x’ = = -3 y’ = = 3 1 = 1 (x´,y’ 1) = (3,3,1) p’(x’, y’)= (-3,3) p’= p.MR

26 Coordenadas homogéneas y representación matricialEscalación x’ = Sx y’ = Sy 1 = 1 x’ = Sx y’ = Sy p’= p.Ms

27 Coordenadas homogéneas y representación matricialEscalación Ejemplo: Escalar el p = (3,3) con Sx=3, Sy=5 x’ = = 9 y’ = = 15 1 = 1 (x´,y’ 1) = (3,3,1) p’(x’, y’)= (9,15) p’= p.Ms

28 Composición de transformaciones bidimensionalesPara aplicar varias transformaciones a un conjunto de puntos basta con combinar las matrices de transformación en una sola mediante multiplicación matricial. [M1][M2][M3][M4]….[MN]=[MR] p’=p.[MR]

29 Composición de transformaciones bidimensionalesEjemplo Aplicar al punto p(4,5) las siguientes transformaciones: Traslación tx= 2, ty=3 Escalación Sx=4,Sy=4 Rotación de ɵ=90° cos90° sen90° 0 -sen90° cos90° 0 = [MR] p’(x’,y’,1)=(4,5,1).[MR]

30 Composición de transformaciones bidimensionalesEjemplo Traslaciones sucesivas.

31 Composición de transformaciones bidimensionalesEjemplo Rotaciones sucesivas.

32 Composición de transformaciones bidimensionalesEjemplo Escalados sucesivos.

33 Composición de transformaciones bidimensionalesRotación de punto de pivote general Para rotar un objeto respecto a un punto arbitrario PC se siguen los siguientes pasos: Trasladar el punto Pc al origen (Mt) Rotar el objeto un ángulo  (MR) Trasladar el punto Pc a su posición original (Mt-1)

34 Composición de transformaciones bidimensionalesRotación de punto de pivote general C=(Cx, Cy) Trasladar el punto C al origen (Mt) Rotar el objeto un ángulo  (MR) Trasladar el punto C a su posición original (Mt-1) -Cx –Cy 1 cos90° sen90° 0 -sen90° cos90° 0 Cx Cy 1

35 Composición de transformaciones bidimensionalesRotación de punto de pivote general

36 Composición de transformaciones bidimensionalesEscalación de punto de pivote general C=(Cx, Cy) Trasladar el punto C al origen (Mt) Escalar el objeto con Sx y Sy Trasladar el punto C a su posición original (Mt-1) -Cx –Cy 1 Sx 0 0 0 Sy 0 Cx Cy 1

37 Composición de transformaciones bidimensionalesEscalación del punto fijo general

38 ¡GRACIAS!