1 Transformaciones linealesLIC. SUJEY HERRERA RAMOS

2 TEOREMA 1 Transformación linealSea A una matriz de m x n . Entonces la transformación matricial TA: R n R m definida por. TA(x) = A x (para x en Rn) es una transformación lineal. EJEMPLO: Sea F: R R2 la transformación que manda a cada punto hacia su punto de reflexión sobre el eje x. y x (1;2) (1;-2) (X ;Y) (x;-y)

3 Transformaciones linealesEJEMPLO: Sea R: R R2 la transformación que gira cada punto a 90o en el sentido contrario de las manecillas del reloj con respecto al origen.

4 Transformaciones linealesEste tipo de ejemplo lo podemos ver en la vida diaria como en la naturaleza

5 Transformaciones linealesTEOREMA 2 Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Entonces T es una transformación matricial. Mas específicamente, T = TA, donde A es la matriz de m x n A = Esta matriz se la conoce como matriz estándar de la transformación lineal T T(e1); T(e2); ... ; T(en)

6 Nuevas transformaciones lineales a partir de las antiguasTEOREMA 3 Sean T: Rm Rn y S: Rn Rp transformaciones lineales. Entonces S T: Rm Rp es una transformación lineal. Además, sus matrices estándar se encuentran relacionadas mediante S T = S T

7 Inversas de transformaciones linealesDefinición : Sean S yT transformaciones lineales de Rn a Rm. Entonces S yT son “transformaciones inversas” si ocurre que S T = In y T S = In.

8 Inversas de transformaciones linealesTEOREMA 4 Sea T: Rn Rn una matriz invertible. Entonces su matriz estándar T es una matriz invertible, y T-1 = T -1

9 Asociatividad Sean R = TA, S = TB y T = TC.A(BC) = (AB)C si y solo si R (S T) = (R S) T (R (S T))(x) = R((S T)(x)) = R(S(T(x))) = (R S)(T(x)) = ((R S) T)(x)

10 Las transformaciones lineales, se presentan muchas veces como conceptos abstractos, sin embargo muchas de ellas están presentes en la vida diaria como cuando “nos miramos al espejo”. Muchas de las transformaciones lineales que hemos estudiado, conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como por ejemplo las simetrías y las rotaciones.

11 Otras sin embargo pueden modificar sus dimensiones como las homotecias y en algunos casos también sus formas como las proyecciones.

12 FIN