1 Treść dzisiejszego wykładu l Klasyfikacja zmiennych modelu wielorównaniowego l Klasyfikacja modeli wielorównaniowych l Postać strukturalna i zredukowana l Identyfikacja modelu l Estymacja parametrów modelu

2 Przykład l Model M1: C t =  0 +  1 Y t +  1t Y t =  0 +  1 C t-1 +  2 I t-1 +  2t l Model M2: C t =  0 +  1 Y t +  1t Y t =  0 +  1 C t +  2 I t-1 +  2t gdzie: C t - konsumpcja w okresie t, Y t - dochód narodowy w okresie t.

3 Klasyfikacja zmiennych w modelu 1. Zmienne endogeniczne - zmienne wyjaśniane przez model (odpowiadają im określone równania). 2. Zmienne egzogeniczne - zmienne niewyjaśniane przez model; oddziałują na kształtowanie zmiennych endogenicznych. l Zmienne z góry ustalone: –zmienne endogeniczne opóźnione, –zmienne egzogeniczne.

4 Klasyfikacja zmiennych w modelu

5 Klasyfikacja zmiennych - M1

6 Klasyfikacja zmiennych - M2

7 Klasyfikacja modeli wielorównaniowych l Modele proste l Modele rekurencyjne l Modele o równaniach współzależnych

8 Klasyfikacja modeli wielorównaniowych l M1- model rekurencyjny l M2- model o równaniach współzależnych l Model Kleina- model o równaniach współzależnych

9 Postać strukturalna modelu wielorównaniowego l m - liczba bieżących zmiennych endogenicznych występujących w modelu, l k- liczba zmiennych z góry ustalonych występujących w modelu, l Y j - j-ta zmienna bieżąca endogeniczna, l Z j - j-ta zmienna z góry ustalona.  11 Y 1t +... +  1m Y mt +  10 +  11 Z 1t +... +  1k Z kt =  1t  21 Y 1t +... +  2m Y mt +  20 +  21 Z 1t +... +  2k Z kt =  2t...  m1 Y 1t +... +  mm Y mt +  m0 +  m1 Z 1t +... +  mk Z kt =  mt

10 Postać strukturalna modelu wielorównaniowego BY +  Z = 

11 Przykład - model M1 C t + b 12 Y t + g 10 = e 1t Y t + g 20 + g 21 C t-1 + g 22 I t-1 = e 2t

12 Postać zredukowana modelu wielorównaniowego BY +  Z =  BY = -  Z +  Y = -B -1  Z + B -1  l podstawienie v = B -1   = -B -1  B  = -  l postać zredukowana Y =  Z + v

13 Problem identyfikacji modelu l Czy istnieje jakikolwiek sposób na to, aby otrzymać oszacowania parametrów strukturalnych modelu? l Teorie ekwiwalentne ze względu na obserwacje. l Nie jest to problem próby danych.

14 Ekwiwalentność teorii Q P Q P Q P

15 Założenia o składniku losowym l Postać strukturalna E(e t ) = 0 E(e t e t T ) =  l Postać zredukowana E(v t ) = 0 E(v t v t T ) = B -1  (B -1 ) T = 

16 Dostępne informacje l Postać zredukowana Y =  Z + v może być oszacowana MNK. Wniosek: zgodne estymatory  i . Czy na tej podstawie można oszacować parametry strukturalne B i  oraz  ?

17 Dostępne informacje l Nieznane parametry strukturalne: B- nieosobliwa macierz (m  m)  - macierz parametrów (m  k)  - symetryczna macierz (m  m) l Znane parametry formy zredukowanej  - macierz współczynników (m  k)  - macierz kowariancji (m  m) l Niedobór parametrów

18 Dodatkowa informacja l Normalizacja:m(m - 1) nieznanych parametrów l Tożsamości:wszystkie parametry w równaniu są znane l Wyłączenie:w części równań pewne zmienne nie występują l Ograniczenia liniowe: ograniczenia nałożone na parametry strukturalne l Restrykcje nakładane na parametry struktury stochastycznej

19 Oznaczenia l liczba równań:m = m 1 + m 2 +1 l liczba zmiennych endogen.:k = k 1 + k 2 l współczynnik przy zmiennej y j w j-tym równaniu jest równy jeden B j Y +  j Z =  j B j - j-ty wiersz macierzy B, G j - j-ty wiersz macierzy .

20 Przykład - model M1

21 Oznaczenia  j 1 - wektor parametrów strukturalnych przy zmiennych endogenicznych uwzględnionych w równaniu,  j 2 - wektor parametrów strukturalnych przy zmiennych endogenicznych nieuwzględnionych w równaniu,  j 1 - wektor parametrów strukturalnych przy zmiennych egzogenicznych uwzględnionych w równaniu,  j 1 - wektor parametrów strukturalnych przy zmiennych egzogenicznych nieuwzględnionych w równaniu.

22 Oznaczenia l postać strukturalna j-tego równania: y j = (  j 1 ) T Y j 1 + (  j 2 ) T Y j 2 + (  j 1 ) T Z j 1 + (  j 2 ) T Z j 2 +  j oraz  j 2 = 0  j 2 = 0 więc B j = [1 -  j 1 0]  j = [-  j 1 0]

23 Postać zredukowana k 1 k 2 1m1m21m1m2

24 Postać strukturalna i zredukowana B  = -  l j-ty wiersz odnosi się do j-tego równania: B j  = -  j l dwa układy równań:

25 Warunek wymiaru  j 1  12 =  j 2 –k 2 równań, –m 1 niewiadomych l Warunek wymiaru (warunek konieczny): k 2  m 1 liczba zmiennych endogenicznych nieobecnych w j- tym równaniu musi być co najmniej równa liczbie zmiennych endogenicznych występujących w j-tym równaniu.

26 Warunek rzędu l Warunek rzędu (identyfikowalności): rz(P 12 ) = m 1 l równanie nieidentyfikowalne: k 2 < m 1 lub niespełniony warunek rzędu l równanie jednoznacznie identyfikowalne: k 2 = m 1 i spełniony warunek rzędu l równanie niejednoznacznie identyfikowalne: k 2 > m 1 i spełniony warunek rzędu.

27 Identyfikowalność l Twierdzenie: Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby pewne równanie modelu liniowego, składającego się z m równań współzależnych było identyfikowalne, jest aby macierz A j utworzona ze współczynników występujących w pozostałych równaniach modelu przy zmiennych nie występujących w analizowanym równaniu była rzędu m - 1.

28 Przykład popyt:q +  1 p +  0 +  2 z =  1 podaż:q +  1 p +  0 +  2 z =  2 nie istnieją macierze A 1 i A 2  ich rzędy nie są równe  m - 1 = 2 - 1 = 1  oba równania nie są identyfikowalne

29 Przykład 1)A 1 = [-  2 ]; rz(A 1 ) = 1 = m - 1  r. identyfikowalne k 2 = 1; m 1 = 1  jednoznacznie 2)A 2 = [-  2 ]; rz(A 2 ) = 1 = m - 1  r. identyfikowalne k 2 = 1; m 1 = 1  jednoznacznie

30 Przykład 1)nie istnieje A 1 ; rz(A 1 )  m - 1 = 1  r. nieidentyfikowalne 2)A 2 = [-  2 -  3 ]; rz(A 2 ) = 1 = m - 1  r. identyfikowalne k 2 = 2; m 1 = 1  niejednoznacznie

31 Przykład 1)A 1 = [ x ]; rz(A 1 ) = 1 = m - 1  r. identyfikowalne k 2 = 1; m 1 = 1  jednoznacznie 2)A 2 = [ x x ]; rz(A 2 ) = 1 = m - 1  r. identyfikowalne k 2 = 2; m 1 = 1  niejednoznacznie

32 Estymacja parametrów modelu wielorównaniowego l Szacowanie równań MNK: –oszacowania parametrów formy zredukowanej są zgodne, –oszacowania parametrów strukturalnych nie są zgodne, gdyż zmienne endogeniczne występujące w danym równaniu są skorelowane ze składnikiem losowym.

33 Estymacja parametrów modelu wielorównaniowego - 2MNK l Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK) –równania identyfikowalne (jednoznacznie lub niejednoznacznie) 1)oszacowanie MNK równań regresji wszystkich zmiennych endogenicznych występujących w danym równaniu (Y j 1 ) od wszystkich zmiennych egzogenicznych (Z), 2)oszacowanie MNK danego równania regresji zmiennej objaśnianej (y j ) od wartości teoretycznych zmiennych endogenicznych występujących w równaniu (Y j 1 - teor.) oraz zmiennych egzogenicznych występujących w równaniu (Z j ).

34 Przykład l pierwsze równanie: Y 2 =  0 +  1 Z 1 +  2 Z 2 +  3 Z 3 + v 2 Y 1 =  1 Y 2 +  2 Z 1 +  3 Z 3 +  1 l drugie równanie: Y 1 =  0 +  1 Z 1 +  2 Z 2 +  3 Z 3 + v 1 Y 2 =  1 Y 1 +  2 Z 2 +  2